Question

Вычислите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями. y=-x^2+4; y=0; x=-1, x=1

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Конечно, я помогу! Для вычисления площади криволинейной трапеции между кривой \(y = -x^2 + 4\), осью \(x\) и вертикальными линиями \(x = -1\) и \(x = 1\), нужно сначала найти точки пересечения этих функций.

Итак, у нас есть кривая \(y = -x^2 + 4\) и \(y = 0\), что представляет собой ось \(x\). Давайте найдем точки пересечения кривой и оси \(x\):

\(0 = -x^2 + 4\)

Переносим \(4\) на другую сторону:

\(x^2 = 4\)

Теперь найдем \(x\):

\(x = \pm \sqrt{4}\)

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \((2, 0)\) и \((-2, 0)\).

Теперь мы можем выразить площадь трапеции между этой кривой, осью \(x\) и линиями \(x = -1\) и \(x = 1\). Для этого можно использовать интеграл:

\[S = \int_{-1}^{1} \left| -x^2 + 4 \right| dx\]

Используем модуль, так как кривая может находиться как над, так и под осью \(x\) в разных областях. Интегрируем по \(x\) от \(-1\) до \(1\).

\[S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 4) dx\]

Проинтегрируем:

\[S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-1}^{1}\]

Подставляем пределы:

\[S = \left( -\frac{1}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{-1}{3} + 4 \right)\]

\[S = \left( \frac{11}{3} \right) - \left( \frac{13}{3} \right)\]

\[S = -\frac{2}{3}\]

Итак, площадь криволинейной трапеции между кривой \(y = -x^2 + 4\), осью \(x\) и линиями \(x = -1\) и \(x = 1\) равна \( \frac{2}{3} \).