Question

Найдите: 1) 4sin a - 6cos a= если tg a=1 2) -20 корней из 3 * tg (-210)= 3) 5sin a= если cos a= 2 корня из 6 / 5 и a (3pi/2; 2pi) 4) 4sin (a-2pi) + 7cos ( -pi/2 + a)= 5) 4 корня из 2 * cos pi/3 * cos 9pi/4= 6) 60 / (sin (-32pi/3) * cos (25pi/6))=

Answer 1

1. $\dfrac{1}{\cos^2 x} = \mathrm{tg}^2 \: x + 1 = 2, \quad \cos x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$4 \sin x - 6 \cos x = (4 \: \mathrm{tg} \: x - 6)\cos x = \pm (4 \: \mathrm{tg} \: x - 6)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$

2. $-20\sqrt{3}\: \mathrm{tg} \: (-210^\circ) = -20\sqrt{3} \: \mathrm{tg}\: (-180^\circ - 30^\circ) = 20\sqrt{3} \: \mathrm{tg} \:30^\circ = 20.$

3. $5 \sin \alpha = -5\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -5\sqrt{1 - \left(\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2} = -5\sqrt{\dfrac{25-24}{25}} = -1.$

4. $4 \sin (\alpha - 2\pi) + 7\cos{(\alpha - \frac{\pi}{2})} = 4\sin \alpha + 7 \sin \alpha = 11 \sin \alpha.$

5.$4\sqrt{2} \cos {\dfrac{\pi}{3}} \cos {\dfrac{9\pi}{4}} = 4\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \cos \dfrac{\pi}{4} = 2\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 2.$

6. $\dfrac{60}{\sin{\frac{-32\pi}{3}}} \cdot \cos \frac{25\pi}{6} = \dfrac{60}{\sin \frac{-2\pi}{3}} \cos \frac{\pi}{6} = -\dfrac{60}{\sin \frac{\pi}{3}}\cdot \cos \frac{\pi}{6} = -60.$

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждое уравнение:

1) \(4\sin(a) - 6\cos(a)\), если \(\tan(a) = 1\).

Если \(\tan(a) = 1\), то \(\sin(a)/\cos(a) = 1\), что означает, что \(\sin(a) = \cos(a)\). Таким образом, подставим \(\sin(a)\) вместо \(\cos(a)\) в уравнение:

\[4\sin(a) - 6\sin(a) = -2\sin(a) = 0\]

Отсюда получаем, что \(\sin(a) = 0\), что значит, что \(a\) может быть любым углом, удовлетворяющим этому условию.

2) \(-20\sqrt{3} \tan(-210)\).

Прежде чем решить это уравнение, давайте определим значение \(\tan(-210)\). Угол \(-210^\circ\) принадлежит третьему квадранту, и \(\tan(-210^\circ)\) равно \(\tan(-30^\circ)\) (потому что тангенс периодичен с периодом \(180^\circ\)).

Теперь заметим, что \(\tan(-30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\sqrt{3}/3\). Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[-20\sqrt{3} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 20\]

3) \(5\sin(a)\), если \(\cos(a) = \frac{2}{\sqrt{6}/5}\).

Умножим и поделим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}/5\), чтобы привести выражение в более удобную форму:

\[\frac{2}{\sqrt{6}/5} \cdot \frac{\sqrt{6}/5}{\sqrt{6}/5} = \frac{2 \cdot 5}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}\]

Таким образом, уравнение будет:

\[5\sin(a) = \frac{5\sqrt{6}}{3}\]

Решая это уравнение, получаем \(\sin(a) = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Учитывая, что угол \(a\) находится в интервале \((\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\), \(\sin(a) > 0\), и следовательно, \(a\) равно \(a = \arcsin(\frac{\sqrt{6}}{3})\).

4) \(4\sin(a-2\pi) + 7\cos(-\frac{\pi}{2} + a)\).

Перейдем к более простым углам:

\[4\sin(a-2\pi) + 7\cos(-\frac{\pi}{2} + a) = 4\sin(a) + 7\sin(a + \frac{\pi}{2})\]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\):

\[4\sin(a) + 7\sin(a + \frac{\pi}{2}) = 4\sin(a) + 7(\sin(a)\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(a)\sin(\frac{\pi}{2}))\]

Так как \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) и \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\):

\[4\sin(a) + 7(\sin(a) + \cos(a))\]

Решив уравнение, получим значение \(a\).

5) \(60 / (\sin(-32\pi/3) \cos(25\pi/6))\).

Для упрощения уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами и заметим, что \(\sin(-32\pi/3) = \sin(-2\pi/3)\) и \(\cos(25\pi/6) = \cos(\pi/6)\):

\[60 / (\sin(-2\pi/3) \cos(\pi/6))\]

Теперь, используя тригонометрические значения для \(\sin(-2\pi/3)\) и \(\cos(\pi/6)\), решим уравнение.

6) \(4\sqrt{2} \cos(\pi/3) \cos(9\pi/4)\).

Упростим уравнение, используя тригонометрические значения \(\cos(\pi/3)\) и \(\cos(9\pi/4)\):

\[4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\]

Таким образом, уравнение равно нулю.

7) \(\frac{60}{\sin(-32\pi/3) \cos(25\pi/6)}\).

Это уравнение уже рассмотрено в пункте 5), и его решение будет определено значением в пункте 5).

Помните, что в тригонометрии значения углов могут быть добавлены или вычтены множеством целых чисел, так как тригонометрические функции периодичны.