Question

При яких значеннях a значення виразу a(квадрат)+2a-3 є простим числом

Answer 1

Трехчлен ax² + bx + c, имеющий корни x₁ и x₂, можно разложить на множители по следующей формуле: a(x – x₁)(x – x₂).
Выражение a²+2a-3 представить в виде (а-1)(а+3), так как корни равны:
Решаем уравнение a²+2*a-3=0:  
Ищем дискриминант:D=2^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(√16-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1;
a_2=(-√16-2)/(2*1)=(-4-2)/2=-6/2=-3.
Значение выражения  (а-1)(а+3) может быть простым числом, если один из множителей будет равен 1.
Это возможно при двух значениях а: 2 и -4, при этом значение выражения  (а-1)(а+3)
равно в обоих случаях 5.

Answer 2

Щоб вираз a² + 2a - 3 був простим числом, його значення повинно бути простим числом для всіх можливих значень a.

Вираз a² + 2a - 3 можна розкласти на добуток двох біному:

\[ a^2 + 2a - 3 = (a + 3)(a - 1) \]

Тепер розглянемо можливі варіанти:

1. Якщо \( a + 3 \) є простим числом, і \( a - 1 \) є простим числом, то весь вираз буде простим.

2. Якщо \( a + 3 \) є простим числом, і \( a - 1 \) не є простим числом, то весь вираз не буде простим числом.

3. Якщо \( a + 3 \) не є простим числом, і \( a - 1 \) є простим числом, то весь вираз не буде простим числом.

4. Якщо \( a + 3 \) і \( a - 1 \) не є простими числами, то весь вираз не буде простим числом.

Таким чином, весь вираз буде простим числом тільки в тому випадку, коли обидва доданки \( a + 3 \) і \( a - 1 \) є простими числами. Такі значення a, при яких це можливо, можна знайти експериментально, перевіряючи різні значення a. Однак з точки зору загального аналізу немає конкретних значень a, для яких весь вираз завжди буде простим числом.