Question

Ребята пожалуйста помогите!!!найти первообразную функции f(x)=2/(x-3)+корень 2х-7, если F(4)=2/3

Answer 1

........................................................

Answer 2

Для нахождения первообразной функции необходимо интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

Итак, у нас есть функция f(x) = 2/(x-3) + sqrt(2x-7).

1. Интегрируем первое слагаемое 2/(x-3). Для этого проведем замену переменных:

Пусть u = x-3, тогда du = dx.

Интеграл будет равен: ∫(2/(x-3)) dx = ∫(2/u) du = 2∫(1/u) du = 2ln|u| = 2ln|x-3| + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

2. Интегрируем второе слагаемое sqrt(2x-7). Также проведем замену:

Пусть v = 2x-7, тогда dv = 2dx.

Интеграл будет равен: ∫sqrt(2x-7) dx = (1/2)∫sqrt(v) dv = (1/2) * (2/3) * v^(3/2) + C2 = (1/3)v^(3/2) + C2,

где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Теперь найдем f(x) через предыдущие интегралы:

f(x) = 2/(x-3) + sqrt(2x-7) = 2ln|x-3| + (1/3)(2x-7)^(3/2) + C1 + C2.

Условие f(4) = 2/3:

2/3 = 2ln|4-3| + (1/3)(2*4-7)^(3/2) + C1 + C2.

Учитывая ln|1| = 0, получаем:

2/3 = 2ln(1) + (1/3)(1)^(3/2) + C1 + C2, 2/3 = 0 + 1/3 + C1 + C2, 2/3 - 1/3 = C1 + C2, 1/3 = C1 + C2.

Таким образом, первообразная функции f(x) равна:

f(x) = 2ln|x-3| + (1/3)(2x-7)^(3/2) + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.