Question

Log(x+2) по основанию 1/3 + log(x+2) по основанию 9 >=-3/2 Сколько целочисленных решений имеет неравенство

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство:

\[ \log_{\frac{1}{3}}(x + 2) + \log_{9}(x + 2) \geq -\frac{3}{2} \]

Чтобы упростить неравенство, давайте воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\). Таким образом, можно объединить логарифмы:

\[ \log_{\frac{1}{3} \cdot 9}(x + 2)^2 \geq -\frac{3}{2} \]

Упростим дробь под логарифмом:

\[ \log_3(x + 2)^2 \geq -\frac{3}{2} \]

Теперь применим свойство логарифма: если \(\log_a(b) \geq c\), то \(a^c \leq b\). Здесь \(a = 3\), \(b = (x + 2)^2\), и \(c = -\frac{3}{2}\).

\[ 3^{-\frac{3}{2}} \leq (x + 2)^2 \]

Вычислим \(3^{-\frac{3}{2}}\):

\[ \frac{1}{\sqrt{3^3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \]

Теперь неравенство выглядит следующим образом:

\[ \frac{1}{3\sqrt{3}} \leq (x + 2)^2 \]

Далее, возведем обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ \frac{1}{27} \leq (x + 2)^4 \]

Теперь воспользуемся тем, что квадратный корень из положительного числа равен ему самому:

\[ (x + 2)^4 \geq \frac{1}{27} \]

Теперь возьмем корень четвертой степени от обеих сторон:

\[ |x + 2| \geq \sqrt[4]{\frac{1}{27}} \]

\[ |x + 2| \geq \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} \]

Теперь рассмотрим два случая: \(x + 2 \geq \frac{1}{3\sqrt[4]{3}}\) и \(x + 2 \leq -\frac{1}{3\sqrt[4]{3}}\).

1. \(x + 2 \geq \frac{1}{3\sqrt[4]{3}}\):

\[ x \geq -2 + \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} \]

2. \(x + 2 \leq -\frac{1}{3\sqrt[4]{3}}\):

\[ x \leq -2 - \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} \]

Теперь объединим оба случая:

\[ -2 - \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} \leq x \leq -2 + \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} \]

Таким образом, целочисленные решения данного неравенства будут в интервале между значениями \(-2 - \frac{1}{3\sqrt[4]{3}}\) и \(-2 + \frac{1}{3\sqrt[4]{3}}\).