Question

Решите пожалуйста. Интеграл { | x+1/x-1 dx }

Answer 1

$\int\limits { \frac{x+1}{x-1} } \, dx = \int\limits { \frac{x-1+2}{x-1} } \, dx = \int\limits {(1+ \frac{2}{x-1} )} \, dx = \int\limits {1} \, dx +2 \int\limits { \frac{1}{x-1} } \, dx= \\ \\ =x+2ln(x-1)+C$

Answer 2

Интеграл от функции f(x) = |x + 1 / x - 1| может быть решен с помощью метода замены переменной. Для начала, разобьем область интегрирования на две части, в зависимости от знака выражения x + 1 / x - 1.

Разбиение на две части

1. Если x + 1 / x - 1 >= 0, то интеграл будет равен самому выражению x + 1 / x - 1. 2. Если x + 1 / x - 1 < 0, то интеграл будет равен выражению с противоположным знаком, т.е. -(x + 1 / x - 1).

Решение для x + 1 / x - 1 >= 0

Для удобства, введем новую переменную: u = x + 1 / x - 1. Тогда, dx = (du / (1 + 1 / x^2)).

Заменим переменную в интеграле: ∫(x + 1 / x - 1) dx = ∫u * (du / (1 + 1 / x^2))

Выражение 1 / x^2 можно переписать как (1 + 1 / x^2) - 1. Подставим это в интеграл:

∫u * (du / (1 + 1 / x^2)) = ∫u * (du / ((1 + 1 / x^2) - 1)).

Теперь, заметим что u = (x^2 + x - 1) / (x - 1). Мы можем представить (1 + 1 / x^2) как (u + 1) / u.

∫u * (du / ((1 + 1 / x^2) - 1)) = ∫u * (du / ((u + 1) / u - 1)).

Разделим дробь на числитель и знаменатель:

∫u * (du / ((u + 1) / u - 1)) = ∫u * (u / (u + 1 - u)) du.

Упрощаем выражение:

∫u * (u / (u + 1 - u)) du = ∫u * (u / 1) du = ∫u^2 du.

Теперь проинтегрируем:

∫u^2 du = u^3 / 3 + C,

где C - произвольная константа.

Решение для x + 1 / x - 1 < 0

Для этого случая, интеграл будет равен -(x + 1 / x - 1). То есть:

∫(x + 1 / x - 1) dx = -∫(-x - 1 / x + 1) dx.

Мы можем использовать тот же метод замены переменной, что и в предыдущем случае. Заменим u = -x - 1 / x - 1. Тогда, dx = (-du / (1 + 1 / x^2)).

Заменим переменную в интеграле:

-∫(-x - 1 / x + 1) dx = -∫u * (-du / (1 + 1 / x^2)).

Подставим выражение 1 / x^2 как (1 + 1 / x^2) - 1:

-∫u * (-du / (1 + 1 / x^2)) = -∫u * (-du / ((1 + 1 / x^2) - 1)).

Используя соотношение u = -x - 1 / x - 1, мы можем представить (1 + 1 / x^2) как (u + 1) / u.

-∫u * (-du / ((u + 1) / u - 1)) = -∫u * (u / (u + 1 - u)) du.

Упрощаем выражение:

-∫u * (u / (u + 1 - u)) du = -∫u * (u / 1) du = -∫u^2 du.

Теперь проинтегрируем:

-∫u^2 du = -u^3 / 3 + C,

где C - произвольная константа.

Итоговый ответ

В итоге, интеграл ∫(|x + 1 / x - 1|) dx будет иметь две ветви:

1. Если x + 1 / x - 1 >= 0, то интеграл равен u^3 / 3 + C, где u = x + 1 / x - 1. 2. Если x + 1 / x - 1 < 0, то интеграл равен -u^3 / 3 + C, где u = -x - 1 / x - 1.

Помните, что C - это произвольная константа, которая добавляется при интегрировании.