Question

Представьте в виде произведения выражениеCosx+ Cos2x+Cos3x+Cos4x

Answer 1

(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2cos(5x/2)cos(3x/2)+2cos(5x/2)cos(x/2)=
=2cos(5x/2)(cos(3x/2)+cos(x/2))=4cos(5x/2)cosxcos(x/2)

Answer 2

$\cos x+\cos3x+\cos2x+\cos4x= \\ =2\cos2x\cdot \cos x+2\cos3x\cdot \cos x= \\ =2\cos x(\cos2x+\cos3x)=2\cos x\cdot 2\cos \frac{5x}{2} \cdot\cos \frac{x}{2} =\boxed{4\cos x\cdot\cos \frac{5x}{2}\cdot\cos \frac{x}{2}}$

Answer 3

Давайте представим выражение \( \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) \) в виде произведения. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для этого.

Для начала, воспользуемся формулой сложения для косинуса: \[ \cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) \]

Применим эту формулу к нескольким слагаемым в нашем выражении:

\[ \cos(2x) = \cos(x + x) = \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) \] \[ \cos(3x) = \cos(2x + x) = \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x) \] \[ \cos(4x) = \cos(3x + x) = \cos(3x)\cos(x) - \sin(3x)\sin(x) \]

Теперь вставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

\[ \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) \] \[ = \cos(x) + (\cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x)) + (\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)) + (\cos(3x)\cos(x) - \sin(3x)\sin(x)) \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ = \cos(x) + \cos(x)\cos(x) + \cos(2x)\cos(x) + \cos(3x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) - \sin(2x)\sin(x) - \sin(3x)\sin(x) \]

Теперь воспользуемся формулой сложения для синуса: \[ \sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \]

Применим эту формулу к некоторым слагаемым:

\[ -\sin(2x)\sin(x) = -(\sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x)) \] \[ -\sin(3x)\sin(x) = -(\sin(x)\cos(3x) + \cos(x)\sin(3x)) \]

Теперь вставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ = \cos(x) + \cos(x)\cos(x) + \cos(2x)\cos(x) + \cos(3x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) - (\sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\sin(2x)) - (\sin(x)\cos(3x) + \cos(x)\sin(3x)) \]

Снова сгруппируем подобные члены:

\[ = \cos(x) + \cos(x)\cos(x) + \cos(2x)\cos(x) + \cos(3x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(3x) - \cos(x)\sin(3x) \]

Теперь мы можем провести факторизацию по подобным членам. В результате получится произведение:

\[ = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x) + \cos(2x))(\cos(x) + \sin(x) + \cos(3x)) \]

Таким образом, выражение \( \cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) \) может быть представлено в виде произведения трех множителей: \[ (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x) + \cos(2x))(\cos(x) + \sin(x) + \cos(3x)) \]