Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3, y=1, x=2 ( Напишите пожалуйста подробный ответ) Заранее, огромное спасибо! :)

Answer 1

Если изобразить все три графика (y=x^3 - парабола с точками (0,0), (1,1), (2,8), y=1 - прямая, параллельная oX через y=1, x=2 - прямая, параллельная xY через x=2), то полученная фигура похожа на треугольник, у которого одна из сторон (гипотенуза) вогнута. Проще найти площадь графика параболы, который опущен от точки 1 до точки 2, а потом вычесть из нее квадратик 1х1
S=$\int\limits^2_1 {x^3} \, dx = ( \frac{x^4}{4} )$ от 1 до 2.
S = 4-1/4 = 15/4. Вычетаем квадратик 1 на 1:
S=15/4-1=15/4 - 4/4 = 11/4
Ответ: 11/4
Если не очень понятно, что там с графиками - поищи в интернете построение графиков онлайн.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти точки пересечения этих линий и построить график для визуального представления.

Сначала найдем точки пересечения линий:

y = x^3 и y = 1. Подставим y = 1 в уравнение y = x^3:

1 = x^3

Теперь извлечем кубический корень:

x = 1

Таким образом, первая точка пересечения - (1, 1).

y = x^3 и x = 2. Подставим x = 2 в уравнение y = x^3:

y = 2^3 = 8

Вторая точка пересечения - (2, 8).

Построим график этих функций, чтобы визуализировать фигуру:

Мы видим, что фигура является частью графика функции y = x^3, ограниченной горизонтальной линией y = 1 с левой стороны и вертикальной линией x = 2 снизу.

Теперь найдем площадь этой фигуры.

Площадь фигуры можно вычислить как разницу между интегралами функций, ограничивающих фигуру.

S = ∫(a, b) f(x) dx, где a и b - интервалы интегрирования, f(x) - функция, ограничивающая фигуру.

В данном случае, нашей функцией будет y = x^3.

S = ∫(1, 2) x^3 dx

Вычислим неопределенный интеграл:

S = (1/4)x^4 | (1, 2)

S = (1/4)(2^4) - (1/4)(1^4)

S = (1/4)(16) - (1/4)(1)

S = 4 - 1/4

S = 3.75

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, y = 1, x = 2, равна 3.75 квадратных единиц (или любых других выбранных единицах измерения площади).