Question

Log0,5(x^2-5x)>log0,5(2x-3)

Answer 1

ОДЗ: х больше0, х больше 5, х больше 1,5;х^2 -5х меньше 2х-3; х^2 -7х+3 меньше 0, слева парабола ветви вверх. Найдем корни квадратного выражения х1=(7-v37)/2; x2=(7+v37)/2;ответ(5;(7+v37)/2)

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, давайте применим некоторые свойства логарифмов.

Имеем неравенство: \[ \log_{0.5}(x^2 - 5x) > \log_{0.5}(2x - 3) \]

Первым шагом преобразуем неравенство с использованием свойства логарифма: если \(\log_a(b) > \log_a(c)\), то \(b > c\).

\[ x^2 - 5x > 2x - 3 \]

Теперь соберем все члены на одной стороне уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 5x - 2x + 3 > 0 \]

\[ x^2 - 7x + 3 > 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение или методы факторизации. Однако в данном случае мы будем использовать квадратное уравнение. Дискриминант \(\Delta\) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равен \(b^2 - 4ac\).

\[ \Delta = (-7)^2 - 4(1)(3) = 49 - 12 = 37 \]

Так как \(\Delta > 0\), у уравнения два различных корня. Найдем их, используя формулу для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2} \]

Теперь определим, в каких интервалах выполняется неравенство \(x^2 - 7x + 3 > 0\). Для этого можно использовать метод интервалов знаков.

Сначала найдем значения, для которых \(x^2 - 7x + 3 = 0\), то есть значения, при которых уравнение равно нулю:

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2} \]

Теперь выберем тестовые точки в каждом из интервалов, образованных найденными корнями. Например, если выбрать \(x = 0\), то

\[ (0 - \frac{7 - \sqrt{37}}{2})(0 - \frac{7 + \sqrt{37}}{2}) + 3 > 0 \]

Таким образом, у нас есть три интервала: \((- \infty, \frac{7 - \sqrt{37}}{2})\), \((\frac{7 - \sqrt{37}}{2}, \frac{7 + \sqrt{37}}{2})\), и \((\frac{7 + \sqrt{37}}{2}, +\infty)\).

Теперь выберем тестовые точки в каждом интервале и определим знак выражения \(x^2 - 7x + 3\). После этого определим, в каких интервалах это выражение положительно.

После проведения всех вычислений можно определить, что неравенство \(x^2 - 7x + 3 > 0\) выполняется в интервалах:

\[ x < \frac{7 - \sqrt{37}}{2} \] и \[ x > \frac{7 + \sqrt{37}}{2} \]

Таким образом, это и есть интервалы, в которых выполняется исходное логарифмическое неравенство \(\log_{0.5}(x^2 - 5x) > \log_{0.5}(2x - 3)\).