Question

Решить уравнение: 4Cos^2(x/2)-3=0

Answer 1

4*(1+cosx)/2=3
1+cosx=3/2
cosx=1/2
x=+-π/6+2πn

Answer 2

Конечно, давай решим уравнение \(4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 3 = 0\).

Сначала выразим \(\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)\):

\[4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 3 = 0\]

\[4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = 3\]

\[\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{3}{4}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}\]

\(\sqrt{\frac{3}{4}}\) можно упростить до \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), так как корень из 4 равен 2.

Теперь рассмотрим, когда \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Это происходит в основных точках косинуса, таких как \( \frac{\pi}{6} \) и \( \frac{11\pi}{6} \) на интервале [0, \(2\pi\)].

Также учтем случай, когда \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Это происходит в точках симметрии косинуса, например, \( \frac{5\pi}{6} \) и \( \frac{7\pi}{6} \) на интервале [0, \(2\pi\)].

Теперь найдем все значения \(x\):

1. \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \(n\) - целое число. \(x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n\)

2. \( \frac{x}{2} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \) \(x = \frac{11\pi}{3} + 4\pi n\)

3. \( \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) \(x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n\)

4. \( \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) \(x = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n\)

Где \(n\) - целое число.

Таким образом, уравнение \(4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 3 = 0\) имеет бесконечное множество решений, задаваемых формулами \(x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n\), \(x = \frac{11\pi}{3} + 4\pi n\), \(x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n\) и \(x = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n\), где \(n\) - целое число.