Question

Найдите наибольшее значение функции y=lnx-x на интервале (0;3).

Answer 1

Справедлива теорема: Пусть функция y=f(x), непрерывная на интервале (a; b), имеет на этом интервале только одну точку экстремума – точку x1. Тогда если x1 - точка максимума, то f(x1)- наибольшее значение функции f(x) на интервале (a; b); если же x1 - точка минимума, то f(x1)  - наименьшее значение функции f(x) на интервале (a; b).

$D(f)=(0;+\infty)$ - интервал (0; 3) принадлежит этому множеству, и функция там непрерывна.
$f'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$
x=1 - единственная критическая точка на (0; 3).
       +             -            -
о----------|-----------o------>
0            1             3
Поскольку в окрестности х=1 производная меняет знак с "+" на "-", сама функция изменяет поведение с возрастания на убывание, т.е. х=1 - точка максимума.
Следовательно, в силу указанной выше теоремы функция принимает наибольшее значение на интервале (0; 3) именно при х=1. Это значение равно
у(1)= ln 1 - 1 = 0 - 1 = - 1.
Ответ: 1.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y=lnx-x, необходимо найти ее критические точки и проанализировать ее поведение на интервале (0;3).

1. Найдем критические точки, равные нулю производной функции. Для этого вычислим производную функции по x: y' = (1/x) - 1

Для того чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение: (1/x) - 1 = 0 1/x = 1 x = 1

Таким образом, x=1 - критическая точка функции y=lnx-x.

2. Исследуем поведение функции на промежутках (0;1) и (1;3).

2.1. На промежутке (0;1): Берем произвольную точку x0 из этого промежутка (например, x0=0.5) и подставляем в функцию: y = ln(0.5) - 0.5 = -0.69 - 0.5 = -1.19

Таким образом, функция на промежутке (0;1) принимает отрицательные значения. При этом, значение функции y увеличивается при приближении x к нулю.

2.2. На промежутке (1;3): Берем произвольную точку x0 из этого промежутка (например, x0=2) и подставляем в функцию: y = ln(2) - 2 = 0.69 - 2 = -1.31

Таким образом, функция на промежутке (1;3) также принимает отрицательные значения. При этом, значение функции y уменьшается при приближении x к бесконечности.

3. Таким образом, наибольшее значение функции y=lnx-x на интервале (0;3) достигается в критической точке x=1. Подставим x=1 в функцию: y = ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1.

Ответ: наибольшее значение функции y=lnx-x на интервале (0;3) равно -1, и оно достигается при x=1.