Question

|x-1|+|x-2|+|x-3|<6решение, скобки - это модуль

Answer 1

|x-1| + |x-2|  + |x-3| < 6

________ 1_______________2________________3_____________
x-1    -                          +                        +                                  +
x-2    -                          -                          +                                  +
x-3    -                          -                          -                                  +

Раскрываем модули соответственно  знакам подмодульных выражений на каждом промежутке:

  {  x < 1                               или   {  1 ≤  x <  2                или    {  2 ≤  x <  3 
  {  - x + 1 -x + 2 - x + 3 < 6           {  x - 1 - x +2 - x + 3 < 6        {  x - 1 + x - 2 - x + 3 < 6

или    {   x ≥  3 
           {  x - 1 + x - 2 + x - 3 < 6


{  x < 1             или   {  1 ≤  x <  2    или    {  2 ≤  x <  3      или    {   x ≥  3 
{  -3 x + 6 < 6            { - x + 4 < 6               {  x  < 6                       {   3x - 6< 6

{  x < 1             или   {  1 ≤  x <  2    или    {  2 ≤  x <  3      или    {   x ≥  3 
{  -3 x < 0                  { - x < 2                     {  x  < 6                       {   3x < 12
 
{  x < 1             или   {  1 ≤  x <  2    или    {  2 ≤  x <  3      или    {   x ≥  3 
{  x > 0                       {  x > - 2                    {  x  < 6                      {  x <  4


       0<x<1      или    1 ≤  x <  2        или     2 ≤  x <  3      или          3 ≤  x <  4

=>            0 <  x <  4


Ответ:     х ∈ ( 0 ;  4).

Answer 2

Для решения данного неравенства с модулями, нужно рассмотреть все возможные комбинации знаков внутри модулей.

1. Если x ≤ 1, то все значения внутри модулей будут отрицательными, поэтому модули можно убрать, получив: (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) < 6 3x - 6 < 6 3x < 12 x < 4

2. Если 1 < x ≤ 2, то первый модуль становится отрицательным, а остальные два положительными: -(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) < 6 -x + 1 + x - 2 + x - 3 < 6 -x - 4 < 6 -x < 10 x > -10 (при умножении на -1 знак неравенства меняется)

3. Если 2 < x ≤ 3, то первые два модуля становятся отрицательными, а третий положительным: -(x - 1) - (x - 2) + (x - 3) < 6 -x + 1 - x + 2 + x - 3 < 6 -x < 6 x > -6 (при умножении на -1 знак неравенства меняется)

4. Если x > 3, то все значения внутри модулей будут положительными, поэтому модули можно убрать, получив: (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) < 6 3x - 6 < 6 3x < 12 x < 4

Итак, получаем следующие интервалы для значения x, удовлетворяющие неравенству: x < 4, x > -10, x > -6

Следовательно, решением неравенства будет: -10 < x < 4.