Question

Преобразуйте выражение в произведение:а) sin 5альфа-sin 6альфа-sin 7альфа+ sin 8альфа=б)cos 3альфа-cos 4альфа-cos 5альфа+ cos 6альфа=в)sin 2альфа+cos 4альфа-sin 6альфа=

Answer 1

Ответ смотри во вложении

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Давайте разберем каждое выражение по отдельности:

а) sin 5α - sin 6α - sin 7α + sin 8α:

Мы можем использовать формулу синуса суммы углов, которая гласит:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Применяя эту формулу, мы можем преобразовать выражение:

sin 5α - sin 6α - sin 7α + sin 8α = sin 5α + sin 8α - sin 6α - sin 7α

= (sin 5α + sin 8α) - (sin 6α + sin 7α)

Мы видим, что внутри каждой пары скобок у нас получается сумма двух синусов, которые можно представить в виде синуса полусуммы и синуса полуразности углов. Таким образом, мы можем дальше преобразовать выражение:

= 2 * sin ((5α + 8α)/2) * cos ((8α - 5α)/2) - 2 * sin ((6α + 7α)/2) * cos ((7α - 6α)/2)

= 2 * sin (13α/2) * cos (3α/2) - 2 * sin (13α/2) * cos (α/2)

= 2 * sin (13α/2) * (cos (3α/2) - cos (α/2))

= 2 * sin (13α/2) * (-2 * sin ((3α - α)/2) * sin ((3α + α)/2))

= -4 * sin (13α/2) * sin (α)

Таким образом, выражение а) преобразуется в -4 * sin (13α/2) * sin (α).

б) cos 3α - cos 4α - cos 5α + cos 6α:

Мы можем использовать формулу косинуса суммы углов, которая гласит:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Применяя эту формулу, мы можем преобразовать выражение:

cos 3α - cos 4α - cos 5α + cos 6α = cos 3α + cos 6α - cos 4α - cos 5α

= (cos 3α + cos 6α) - (cos 4α + cos 5α)

Мы видим, что внутри каждой пары скобок у нас получается сумма двух косинусов, которые можно представить в виде косинуса полусуммы и косинуса полуразности углов. Таким образом, мы можем дальше преобразовать выражение:

= 2 * cos ((3α + 6α)/2) * cos ((6α - 3α)/2) - 2 * cos ((4α + 5α)/2) * cos ((5α - 4α)/2)

= 2 * cos (9α/2) * cos (3α/2) - 2 * cos (9α/2) * cos (α/2)

= 2 * cos (9α/2) * (cos (3α/2) - cos (α/2))

= -4 * cos (9α/2) * sin (α/2)

Таким образом, выражение б) преобразуется в -4 * cos (9α/2) * sin (α/2).

в) sin 2α + cos 4α - sin 6α:

Для данного выражения, просто замечаем, что оно не может быть преобразовано в произведение синусов и/или косинусов. Поэтому, оставляем его без изменений.

Таким образом, ответы на преобразование выражений будут следующими:

а) sin 5α - sin 6α - sin 7α + sin 8α = -4 * sin (13α/2) * sin (α)

б) cos 3α - cos 4α - cos 5α + cos 6α = -4 * cos (9α/2) * sin (α/2)

в) sin 2α + cos 4α - sin 6α (не может быть преобразовано в произведение)