Question

решите неравенство(3x+1)(x-6)<0

Answer 1

Решение неравенства...

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство \((3x+1)(x-6)<0\), нужно использовать метод интервалов.

1. Найдем значения \(x\), при которых выражение \((3x+1)(x-6)\) равно нулю, так как неравенство меняет знак при этих точках. Установим оба множителя равными нулю:

\[ 3x + 1 = 0 \quad \text{и} \quad x - 6 = 0 \]

Решим уравнения:

\[ \begin{align*} 3x + 1 &= 0 \\ 3x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{3} \end{align*} \]

и

\[ \begin{align*} x - 6 &= 0 \\ x &= 6 \end{align*} \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = -\frac{1}{3}\) и \(x = 6\).

2. Теперь возьмем три интервала, образованных этими точками: \((- \infty, -\frac{1}{3})\), \((- \frac{1}{3}, 6)\) и \((6, +\infty)\).

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения \((3x+1)(x-6)\) на каждом интервале.

- Пусть \(x = -1\) (взято из интервала \((- \infty, -\frac{1}{3})\)): \((3(-1)+1)(-1-6) = (-2)(-7) = 14 > 0\)

- Пусть \(x = 0\) (взято из интервала \((- \frac{1}{3}, 6)\)): \((3(0)+1)(0-6) = (1)(-6) = -6 < 0\)

- Пусть \(x = 7\) (взято из интервала \((6, +\infty)\)): \((3(7)+1)(7-6) = (22)(1) = 22 > 0\)

4. Итак, мы определили знак выражения \((3x+1)(x-6)\) на каждом интервале. Теперь соберем ответ.

Неравенство \((3x+1)(x-6)<0\) выполняется на интервалах, где количество смен знака четное. В данном случае, смена знака происходит между интервалами \((- \infty, -\frac{1}{3})\) и \((- \frac{1}{3}, 6)\), поэтому ответ:

\[ x \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(-\frac{1}{3}, 6\right) \]