Question

Доказать тождество2(sin^6a+cos^6a)-3(sin^4a+cos^4a)=-1

Answer 1

...................................................

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться формулами двойного угла и формулой синуса и косинуса суммы.

1. Начнем с левой стороны тождества: sin^6(a) + cos^6(a) - 3(sin^4(a) + cos^4(a))

2. Мы можем заметить, что sin^6(a) и cos^6(a) являются кубами sin^2(a) и cos^2(a) соответственно. Используем формулу куба:

sin^6(a) = (sin^2(a))^3 = (1 - cos^2(a))^3 cos^6(a) = (cos^2(a))^3 = (1 - sin^2(a))^3

3. Теперь, заметим, что sin^4(a) и cos^4(a) это квадраты sin^2(a) и cos^2(a). Используем формулу квадрата:

sin^4(a) = (sin^2(a))^2 = (1 - cos^2(a))^2 cos^4(a) = (cos^2(a))^2 = (1 - sin^2(a))^2

4. Подставим полученные значения в первоначальное выражение:

(sin^2(a) - cos^2(a))^3 + (cos^2(a) - sin^2(a))^3 - 3((1 - cos^2(a))^2 + (1 - sin^2(a))^2)

5. Раскроем скобки и сократим подобные члены:

(sin^2(a)^3 - 3sin^2(a)^2cos^2(a) + 3sin^2(a)cos^4(a) - cos^2(a)^3) + (cos^2(a)^3 - 3cos^2(a)^2sin^2(a) + 3cos^2(a)sin^4(a) - sin^2(a)^3) - 3(2 - 2cos^2(a) - 2sin^2(a))

6. Мы видим, что убедительно уменьшается количество членов и они становятся уже более сложными для манипуляций. Однако, сделаем еще одно наблюдение - каждый член a^3 - b^3 раскрывается в (a - b)(a^2 + ab + b^2), что нам очень пригодится:

[ (sin^2(a) - cos^2(a)) + (sin^2(a)^2 + sin^2(a)cos^2(a) + cos^2(a)^2)(sin^2(a) + cos^2(a)) ] + [ (cos^2(a) - sin^2(a)) + (cos^2(a)^2 + cos^2(a)sin^2(a) + sin^2(a)^2)(cos^2(a) + sin^2(a)) ] - 6 + 6cos^2(a) + 6sin^2(a)

7. Упростим выражение, сокращая подобные члены:

[ (2sin^2(a)cos^2(a))^2 + (sin^2(a) + cos^2(a))^3 ] + [ (2cos^2(a)sin^2(a))^2 + (cos^2(a) + sin^2(a))^3 ] - 6 + 6(cos^2(a) + sin^2(a))

8. Мы знаем, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1 и (sin^2(a)cos^2(a))^2 = (sin^2(a))^2(cos^2(a))^2. Подставим эти значения и сократим:

[ (2sin^2(a)cos^2(a))^2 + 1^3 ] + [ (2cos^2(a)sin^2(a))^2 + 1^3 ] - 6 + 6

9. Воспользуемся формулой двойного угла для sin^2(2a) = 2sin(a)cos(a). Получим:

[ sin^4(2a) + 1 ] + [ cos^4(2a) + 1 ] - 6 + 6

10. Заметим, что sin^4(2a) + cos^4(2a) равно 1 в силу формулы cos^2(2a) + sin^2(2a) = 1. Подставим это значение:

1 + 1 - 6 + 6

11. Теперь осталось только просуммировать и упростить:

2 - 6 + 6 = 2

Таким образом, мы получили, что левая сторона равна 2, что не равно -1. Таким образом, исходное утверждение - тождество - неверно.