Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^2+8/ x-1 на промежутке [-3;0] Заранее спасибо)

Answer 1

$f(x)=\frac{x^2+8}{x-1}\\ f(0)=\frac{8}{-1}=-8\\ f(-3)=\frac{9+8}{-4}= \frac{-17}{4}\\ \\ f'(x)= \frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2}=0\\ x=-2\\ x=4\\ f(-2)=\frac{4+8}{-2-1}=-4\\ min=-8\\ max=-4$

Answer 2

На промежутке функция достигает экстремумов или на концах интервала или когда производная =0
на концах
f(-3)=(9+8)/ -3-1=-17/4
f(0)=(0+8)/0-1=-8
произ(U/V)=(произ(U)*V-произв(V)*U)/V^2
2x(x-1)-1(x2-8)/(x-1)^2=(2x^2-2x-x^2+8)/(x-1)^2=(x^2-2x+8)/(x-1)^2=0
x^2-2x+8=(x-4)(x+2)=0
x=4 нас не интересует не входит в отрезок -3 0
f(-2)=(4+8)/(-2-1)=12/(-3)=-4
наибольшее -4 в точке -2 и наименьшее -8 в точке 0

Answer 3

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1} \) на промежутке \([-3; 0]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции в указанном интервале. Критические точки производной функции могут быть точками, где производная равна нулю или не существует, а также точками, где функция не определена.

2. Оценить значения функции в найденных критических точках и на концах интервала.

Давайте начнем с нахождения критических точек. Функция \( f(x) \) может иметь разрывы в знаменателе, которые могут создать точки, где производная не существует. Также, необходимо учитывать точки, где знаменатель обращается в ноль (если они лежат в пределах интервала).

1. Найдем точки, где \( f'(x) = 0 \) или \( f'(x) \) не существует:

\[ f'(x) = 0 \]

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 8}{x - 1}\right) = 0 \]

Сначала найдем производную:

\[ f'(x) = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2 + 8)(1)}{(x - 1)^2} \]

Упростим это уравнение:

\[ 0 = \frac{2x - 2 - x^2 - 8}{(x - 1)^2} \]

Раскроем скобки:

\[ 0 = \frac{-x^2 + 2x - 10}{(x - 1)^2} \]

Теперь найдем корни уравнения \( -x^2 + 2x - 10 = 0 \). Решим это квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x + 10 = 0 \]

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(10) = 4 - 40 = -36 \]

Так как дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней этого уравнения. Значит, уравнение \( f'(x) = 0 \) не имеет решений в данном интервале.

Теперь проверим точку, где знаменатель обращается в ноль:

\[ x - 1 = 0 \]

\[ x = 1 \]

Однако, эта точка не принадлежит интервалу \([-3; 0]\), поэтому она не является критической точкой.

Таким образом, у нас нет критических точек в указанном интервале, и мы можем просто оценить значения функции на его концах и на точке \(x = 1\).

2. Оценим значения функции:

- \(f(-3)\): Подставим -3 в функцию:

\[ f(-3) = \frac{(-3)^2 + 8}{-3 - 1} = \frac{9 + 8}{-4} = \frac{17}{-4} \]

- \(f(0)\): Подставим 0 в функцию:

\[ f(0) = \frac{0^2 + 8}{0 - 1} = \frac{8}{-1} = -8 \]

- \(f(1)\): Не забудем, что в точке \(x = 1\) функция не определена.

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале \([-3; 0]\) - это \(f(-3) = \frac{17}{-4}\), а наименьшее - это \(f(0) = -8\).