Question

Дана геометрическая прогрессия 24,6,3/2,.... Найдите сумму всех её членов Напишите решение пожалуйста

Answer 1

b1=24;

b2=6;=> q=6/24=0.25=>

S=b1/1-q=>

S=24/0.75=32

Answer 2

Конечно, я помогу! Для начала, чтобы найти сумму всех членов геометрической прогрессии, нужно понять закономерность этой последовательности и использовать формулу для суммы геометрической прогрессии.

Дано: геометрическая прогрессия \(24, 6, \frac{3}{2}, \ldots\)

Чтобы найти следующие члены последовательности, нужно понять, какой множитель применяется для получения следующего числа из предыдущего. В данном случае:

\(24 \times \frac{1}{4} = 6\)

\(6 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\)

Таким образом, множитель равен \(\frac{1}{4}\). Чтобы найти следующий член, умножим \(\frac{3}{2}\) на \(\frac{1}{4}\):

\(\frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\)

Итак, следующий член последовательности равен \(\frac{3}{8}\).

Теперь у нас есть общая формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\)

где \(a_n\) - \(n\)-й член последовательности, \(a_1\) - первый член последовательности, \(r\) - множитель прогрессии, \(n\) - порядковый номер члена прогрессии.

Найдем \(r\), используя первые два члена:

\(6 = 24 \cdot r^{(2-1)}\)

\(6 = 24r\)

\(r = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\)

Теперь, когда у нас есть \(r\), мы можем использовать формулу для суммы всех членов геометрической прогрессии:

\(S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\)

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов последовательности.

Мы знаем \(a_1 = 24\) и \(r = \frac{1}{4}\). Однако нам нужно узнать, сколько членов в прогрессии, чтобы найти сумму. Давайте найдем \(n\).

Мы знаем, что \(a_n = \frac{3}{8}\). Таким образом, у нас есть:

\(\frac{3}{8} = 24 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\)

Давайте найдем \(n\):

\(24 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = \frac{3}{8}\)

\(\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = \frac{3}{8 \cdot 24}\)

\(\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = \frac{1}{64}\)

\(n - 1 = 3\) (поскольку \(4^3 = 64\))

\(n = 4\)

Теперь, когда у нас есть значение \(n\), мы можем найти сумму всех членов геометрической прогрессии:

\(S_4 = \frac{24 \cdot (1 - \left(\frac{1}{4}\right)^4)}{1 - \frac{1}{4}}\)

\(S_4 = \frac{24 \cdot (1 - \frac{1}{256})}{\frac{3}{4}}\)

\(S_4 = \frac{24 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}\)

\(S_4 = \frac{24 \cdot 255 \cdot 4}{3 \cdot 256}\)

\(S_4 = \frac{24480}{768}\)

\(S_4 = 31.875\)

Таким образом, сумма всех членов данной геометрической прогрессии равна \(31.875\).