Question

Докажите, что выражение 4х^2+2у^2-4ху-4х+2у+3 принимает лишь положительные значения при любых значениях переменных входящих в него

Answer 1

Обратим внимание, что $(2x -y -1)^2=4x^2-2xy-2x-2xy-2xy+y^2+y -2x+y+1=\\=4x^2+y^2-4xy -4x +2y+1$.
Тогда:
$4x^{2} +2y^2-4xy -4x +2y +3 = \\ = (4x^2+y^2-4xy -4x +2y+ 1) +y^2+2= \\ =(2x-y-1)^2+y^2+2$
Квадрат числа неотрицателен по определению. И поэтому сумма двух квадратов и двойки будет не меньше этой самой двойки.

Answer 2

Проверка выражения на положительные значения

Для доказательства того, что выражение 4х^2 + 2у^2 - 4ху - 4х + 2у + 3 принимает только положительные значения при любых значениях переменных, мы можем воспользоваться методом полного квадрата.

Метод полного квадрата

Метод полного квадрата позволяет представить квадратное выражение в виде суммы квадратов. Для этого мы можем разделить выражение на две части: квадратный трехчлен и линейный трехчлен.

Разложение выражения на квадратные и линейные трехчлены

Разложим выражение 4х^2 + 2у^2 - 4ху - 4х + 2у + 3 на квадратные и линейные трехчлены:

4х^2 + 2у^2 - 4ху - 4х + 2у + 3 = (2х - у - 1)^2 + (у + 2)^2 - 2

Доказательство положительности выражения

Теперь мы можем заметить, что выражение (2х - у - 1)^2 + (у + 2)^2 является суммой двух квадратов. Квадраты всегда неотрицательны, поэтому эта сумма также неотрицательна.

Таким образом, выражение 4х^2 + 2у^2 - 4ху - 4х + 2у + 3 принимает только положительные значения при любых значениях переменных входящих в него.

Пример

Давайте рассмотрим пример, чтобы продемонстрировать это. Пусть х = 1 и у = -2. Подставим эти значения в исходное выражение:

4(1)^2 + 2(-2)^2 - 4(1)(-2) - 4(1) + 2(-2) + 3 = 4 + 8 + 8 - 4 - 4 - 2 + 3 = 21

Как видим, значение выражения равно 21, что является положительным числом.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что выражение 4х^2 + 2у^2 - 4ху - 4х + 2у + 3 принимает только положительные значения при любых значениях переменных входящих в него.