Question

1. Найти интегралы: а)неопределенные: S(1-x^4)x^3dx; Scosxdx/корень 3+sinx б)определенные: пи S2 sin x+пи/3 *dx; 0 2 S x-2/3 *dx 1

Answer 1

$\int\limits {(1-x^4)x^3} \, dx= \int\limits{(x^3-x^7)} \, dx= \int\limits{x^3} \, dx- \int\limits {x^7} \, dx= \frac{x^4}{4}- \frac{x^8}{8}+C= \\ = \frac{x^4}{4}(1- \frac{x^4}{2})+C; \\ \int\limits{ \frac{cosx}{ \sqrt{3+sin x} } } \, dx= \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{3+sin x}} } \, d(sin x)=(t=sin x; dt=d(sin x))= \\ =\frac{1}{2} \int\limits { \frac{2}{ \sqrt{3+t} } } \, dt=2\sqrt{3+t}+C=2\sqrt{3+sin x}+C; \\ \int\limits^ \pi _0 {(2sin x+ \frac{ \pi }{3}) } \, dx=$$\int\limits^ \pi _0 {2sin x} \, dx- \int\limits^ \pi _0 { \frac{ \pi }{3} } \, dx=-2cosx|^{ \pi }_0- \frac{ \pi }{3}x|^{ \pi }_0=-2(cos\pi -cos 0)- \frac{ \pi }{3}*\pi= \\ =-2(-1-1)- \frac{ \pi ^2}{3}=4-\frac{ \pi ^2}{3}; \\ \int\limits^2_1 {(x- \frac{2}{3})} \, dx=\int\limits^2_1 {x} \, dx- \int\limits^2_1 { \frac{2}{3} } \, dx= \frac{x^2}{2}|^{2}_1- \frac{2}{3}x|^{2}_1= \\ = \frac{1}{2} (2^2-1)-\frac{2}{3}(2-1)= \frac{3}{2}- \frac{2}{3}= \frac{9-4}{6}= \frac{5}{6}.$

Answer 2

Конечно, давайте начнем с вычисления этих интегралов.

а) Неопределенные интегралы:

1. \( \int (1-x^4)x^3 \, dx \) Раскроем скобки и упростим выражение: \( \int (x^3 - x^7) \, dx \) Теперь проинтегрируем поочередно каждое слагаемое: \( \int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4 + C_1 \) \( \int x^7 \, dx = \frac{1}{8}x^8 + C_2 \) Где \( C_1 \) и \( C_2 \) — постоянные интегрирования. Таким образом, неопределенный интеграл равен: \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^8 + C \), где \( C = C_1 + C_2 \).

2. \( \int \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{3+\sin x}} \) Здесь для решения этого интеграла можно сделать замену переменной. Обозначим \( u = \sqrt{3 + \sin x} \), тогда \( du = \frac{\cos x \, dx}{2\sqrt{3+\sin x}} \). Подставим это значение в интеграл: \( 2\int du = 2u + C = 2\sqrt{3 + \sin x} + C \).

б) Определенные интегралы:

1. \( \int_{\pi}^{2} \sin x \, dx \) Этот интеграл вычисляется как разность значения функции в верхнем пределе и нижнем пределе: \( \left[-\cos x\right]_{\pi}^{2} = -\cos(2) - (-\cos(\pi)) = -\cos(2) + 1 \).

2. \( \int_{0}^{2} x^{-2/3} \, dx \) Используем свойство интеграла, который равен \( \frac{x^{1/3}}{1/3} \) при интегрировании: \( \left[\frac{3x^{1/3}}{1/3}\right]_{0}^{2} = 3 \cdot (2^{1/3} - 0) = 3 \cdot 2^{1/3} \).

Надеюсь, эти шаги помогут вам разобраться в вычислении данных интегралов! Если есть еще вопросы или что-то непонятно, обращайтесь.