Question

Помогите пожалуйста решить Докажите что при а > 2 имеет место неравенство а в кубе - 4а в квадрате + 6а - 4 > 0

Answer 1

А³-4а²+6а-4=а³-2а²-2а²+4а+2а-4=а²(а-2)-2а(а-2)+2(а-2)=(а-2)(а²-2а+2)=
=(а-2)((а-1)²+1)
так как по условию а>2, то а-2>0
(а-1)²+1>0 при любом значении а
Значит (а-2)((а-1)²+1)>0, а значит а³-4а²+6а-4>0

Answer 2

Для доказательства неравенства при a > 2, нам нужно рассмотреть выражение a^3 - 4a^2 + 6a - 4 и показать, что оно больше нуля.

Решение:

1. Подставим a = 2 в выражение: - 2^3 - 4(2^2) + 6(2) - 4 = 8 - 16 + 12 - 4 = 0 - При a = 2, выражение равно 0.

2. Рассмотрим производную выражения: - Вычислим производную выражения a^3 - 4a^2 + 6a - 4: - (d/dx)(a^3 - 4a^2 + 6a - 4) = 3a^2 - 8a + 6 - Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: - 3a^2 - 8a + 6 = 0 - Решим это квадратное уравнение: - a = (8 ± √(8^2 - 4(3)(6))) / (2(3)) - a = (8 ± √(64 - 72)) / 6 - a = (8 ± √(-8)) / 6 - Уравнение имеет комплексные корни, что означает, что производная не пересекает ось x.

3. Рассмотрим значения выражения в окрестностях точек экстремума: - Подставим значения a, близкие к точкам экстремума, например, a = 1 и a = 3: - При a = 1: 1^3 - 4(1^2) + 6(1) - 4 = 1 - 4 + 6 - 4 = -1 - При a = 3: 3^3 - 4(3^2) + 6(3) - 4 = 27 - 36 + 18 - 4 = 5 - Заметим, что выражение отрицательно при a = 1 и положительно при a = 3.

4. Из полученных результатов можно сделать вывод: - При a < 2, выражение a^3 - 4a^2 + 6a - 4 < 0. - При a > 2, выражение a^3 - 4a^2 + 6a - 4 > 0.

Вывод:

Таким образом, при a > 2 имеет место неравенство a^3 - 4a^2 + 6a - 4 > 0. Это можно доказать, рассмотрев значения выражения в разных точках и анализируя его производную.