Question

Даю 25 баллов. Доказать тождество ((sinL+tgL)/tgL)^2 - 2cosL = 1 + cos^2L

Answer 1

используя основное тригонометрическое соотношение sinx=tgx *cosx, формулу квадрата двучлена и приводя подобные члены, получим
((sinL+tgL)/tgL)^2 - 2cosL = 1 + cos^2L =(сosL +1)^2 — 2 cosL=cos^2L+2cosL +1- 2cosL=1+cos^2L , что и требовалось доказать. 

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы начнем с левой стороны выражения и будем преобразовывать его до тех пор, пока не получим правую сторону выражения.

Данное тождество:

((sinL + tgL) / tgL)^2 - 2cosL = 1 + cos^2L

Первый шаг:

Раскроем квадрат в числителе:

(sinL + tgL)^2 / (tgL)^2 - 2cosL = 1 + cos^2L

(sin^2L + 2sinLtgL + tg^2L) / (tg^2L) - 2cosL = 1 + cos^2L

Второй шаг:

Разделим каждое слагаемое в числителе на (tg^2L):

(sin^2L / (tg^2L)) + (2sinLtgL / (tg^2L)) + (tg^2L / (tg^2L)) - 2cosL = 1 + cos^2L

(sin^2L / (tg^2L)) + (2sinL / tgL) + 1 - 2cosL = 1 + cos^2L

Третий шаг:

Заменим sin^2L на 1 - cos^2L (используя тригонометрическую тождество sin^2L + cos^2L = 1):

((1 - cos^2L) / (tg^2L)) + (2sinL / tgL) + 1 - 2cosL = 1 + cos^2L

Четвёртый шаг:

Упростим выражение:

(1/tg^2L - cos^2L / tg^2L) + (2sinL / tgL) + 1 - 2cosL = 1 + cos^2L

(1 - cos^2L) / tg^2L + (2sinL / tgL) + 1 - 2cosL = 1 + cos^2L

Пятый шаг:

Поскольку tgL = sinL / cosL, заменим tg^2L на (sin^2L / cos^2L):

(1 - cos^2L) / (sin^2L / cos^2L) + (2sinL / tgL) + 1 - 2cosL = 1 + cos^2L

(1 - cos^2L) * (cos^2L / sin^2L) + (2sinL * cosL / sinL) + 1 - 2cosL = 1 + cos^2L

(cos^2L - cos^4L) / sin^2L + 2cosL + 1 - 2cosL = 1 + cos^2L

Шестой шаг:

Упростим выражение:

(cos^2L - cos^4L) / sin^2L + 1 = 1 + cos^2L

(cos^2L - cos^4L) / sin^2L = cos^2L

cos^2L - cos^4L = sin^2L * cos^2L

Седьмой шаг:

Поделим обе части на cos^2L:

1 - cos^2L = sin^2L

Восьмой шаг:

Используя тригонометрическую тождество sin^2L + cos^2L = 1, можем записать:

1 - cos^2L = 1 - cos^2L

Заключение:

Мы успешно преобразовали левую сторону выражения ((sinL + tgL) / tgL)^2 - 2cosL до правой стороны выражения 1 + cos^2L, что доказывает их тождество.