Question

Знайти y з рівняння : 1+6+11+...+y=342

Answer 1

По-скольку  (1+11)/2 = 6,   6>2,    последовательность 1, 6, 11 ... является арифметической (характеристическое свойство арифметической прогрессии).

разность прогрессии d = 6-1 =5,  или 11-6 = 5

при таком d, и а₁=1 члены прогрессии могут заканчиваться только или на 1 или на 6

ближайшим членом  прогрессии, удовлетворяющим условию $a_{n} \ \textless \ 342$  является число 341.

Для проверки этого вычислим n:

341=1+(n-1)*5

341=1+5n-5

345=5n

n=345/5 = 69

Тогда:  341+у=342

у=1

Answer 2

Для решения данного задания, мы имеем арифметическую прогрессию, где первый член (a) равен 1, разность (d) равна 6 - 1 = 5 (так как каждый следующий член увеличивается на 5), и сумма (S) равна 342. Мы хотим найти значение y.

Сумма арифметической прогрессии может быть вычислена с использованием формулы:

\[ S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d) \]

где \( S \) - сумма, \( n \) - количество членов прогрессии, \( a \) - первый член, \( d \) - разность.

Подставим известные значения:

\[ 342 = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 5) \]

Раскроем скобки:

\[ 342 = \frac{n}{2} \cdot (2 + 5n - 5) \]

Упростим уравнение:

\[ 342 = \frac{n}{2} \cdot (5n - 3) \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 684 = n \cdot (5n - 3) \]

Раскроем скобки:

\[ 684 = 5n^2 - 3n \]

Приведем уравнение к квадратному виду:

\[ 5n^2 - 3n - 684 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном уравнении:

\[ a = 5, \quad b = -3, \quad c = -684 \]

Подставим значения:

\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-684)}}{2 \cdot 5} \]

\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 13680}}{10} \]

\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{13689}}{10} \]

\[ n = \frac{3 \pm 117}{10} \]

Таким образом, у нас два возможных значения для n:

1. \( n = \frac{3 + 117}{10} = \frac{120}{10} = 12 \) 2. \( n = \frac{3 - 117}{10} = \frac{-114}{10} = -11.4 \)

Так как количество членов прогрессии не может быть отрицательным, то \( n = 12 \).

Теперь, чтобы найти значение y, подставим n в формулу первого члена прогрессии:

\[ y = a + (n-1)d \]

\[ y = 1 + (12-1) \cdot 5 \]

\[ y = 1 + 11 \cdot 5 \]

\[ y = 1 + 55 \]

\[ y = 56 \]

Таким образом, значение \( y \) равно 56.