Question

Помогите с уравнением, пжл.4 sin^2(2x+pi/3)-1=0

Answer 1

4sin^2(2x+pi/3)-1=0

4sin^2(2x+pi/3)=1

sin^2(2x+pi/3)=1/4

Пусть: (2x+pi/3)=t

sin^2t=1/4

sint=+-1/2

1)sint=-1/2

t=-pi/6+2pik . k=z

t=-5pi/6+2pik . k=z

2)sint=1/2

t=pi/6+2pik . k=z

t=5pi/6+2pik . k=z

Найдем х:

1)

2x+pi/3=-pi/6+2pik 

2x=-pi/2+2pik

x=-pi/4+pik . k=z

2)

2x+pi/3=-5pi/6+2pik 

2x=-7pi/6+2pik

x=-7pi/12+pik . k=z

3)

2x+pi/3=pi/6+2pik 

2x=-pi/6+2pik

x=-pi/12+pik . k=z

4)

2x+pi/3=5pi/6+2pik 

2x=pi/2+2pik

x=pi/4+pik . k=z

Объединим ответ:

x=-pi/4+pik/2 . k=z

x=-pi/12+pik/2 . k=z

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(4\sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0\).

1. Приведение к стандартному виду: \[4\sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0\]

Заметим, что у нас есть квадрат синуса, который может быть выражен через тригонометрическую формулу: \[\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\]

Применяем это к уравнению: \[4 \left(\frac{1 - \cos(4x + \frac{2\pi}{3})}{2}\right) - 1 = 0\]

Упростим: \[2 - 2\cos(4x + \frac{2\pi}{3}) - 1 = 0\]

\[-2\cos(4x + \frac{2\pi}{3}) = -1\]

\[\cos(4x + \frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2}\]

2. Нахождение общего решения для косинуса: Найдем угол, чей косинус равен \( \frac{1}{2} \). Это угол \( \frac{\pi}{3} \).

Теперь выразим \( 4x + \frac{2\pi}{3} \) как кратное \( \pi \), чтобы получить все возможные решения: \[ 4x + \frac{2\pi}{3} = 2n\pi + (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} \]

где \( n \) - целое число.

Теперь решим для \( x \): \[ x = \frac{1}{4} \left( n\pi - \frac{\pi}{6} \right) \]

где \( n \) - целое число.

Таким образом, общее решение для уравнения \(4\sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0\) выражается как: \[ x = \frac{1}{4} \left( n\pi - \frac{\pi}{6} \right) \] где \( n \) - целое число.