Question

Даны два числа-x и y. известно, что х+y и ху-целые. докажите,что х в восьмой степени + у в восьмой степени тоже целое

Answer 1

А что это за "ху-целые" !?!?!?!

Answer 2

Давайте рассмотрим данное условие более подробно. У нас есть два числа, \(x\) и \(y\), такие, что \(x + y\) и \(x \cdot y\) являются целыми числами. Мы хотим доказать, что и \(x^8\) и \(y^8\) также будут целыми числами.

Давайте воспользуемся биномом Ньютона для разложения восьмой степени:

\[ (x+y)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} x^{8-k}y^k \]

Заметим, что каждое слагаемое в этой сумме будет произведением целого числа на \(x^{8-k}y^k\), и, следовательно, будет целым числом. Так как сумма целых чисел также является целым числом, то \((x+y)^8\) — целое число.

Теперь давайте рассмотрим выражение \(x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + \ldots + y^8\). Заметим, что каждый член этой суммы также является целым числом. Следовательно, сумма \(x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + \ldots + y^8\) — целое число.

Теперь рассмотрим разность \( (x+y)^8 - (x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + \ldots + y^8) \). Эта разность также будет целым числом, так как разность целых чисел — целое число.

Итак, у нас есть:

\[ (x+y)^8 - (x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + \ldots + y^8) = 0 \]

Это означает, что \(x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + \ldots + y^8 = (x+y)^8\), и, следовательно, \(x^8 + y^8\) делится на \( (x+y)^8 \). Таким образом, \(x^8 + y^8\) является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что если \(x + y\) и \(xy\) целые числа, то и \(x^8 + y^8\) также является целым числом.