Question

Mod(x**2-5x+4)<=mod(x**2-4)

Answer 1

|x²-5x+4|≤|x²-4|
|(x-1)(x-4)|≤|(x-2)(x+2)|
1)x<-2
x²-5x+4≤x²-4
-5x≤-8
x≥1,6
нет решения
2)-2≤x<1
x²-5x+4≤-x²+4
2x²-5x≤0
2x(x-2,5)≤0
x=0  x=2,5
0≤x<2,5 U -2≤x<1⇒0≤x<1
3)1≤x<2
-x²+5x-4≤-x²+4
5x≤8
x≤1,6
1≤x≤1,6
4)2≤x<4
-x²+5x-4≤x²-4
-2x²+5x≤0
2x²-5x≥0
2x(x-2,5)≥0
x=0  x=2,5
x≤0 U x≥2,5 U 2≤x<4⇒2,5≤x<4
5)x≥4
x²-5x+4≤x²-4
-5x≤-8
x≥1,6 U x≥4⇒x≥4
x∈[0;1,6] U [2,5;∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства с модулями, давайте разберемся с обеими сторонами неравенства.

Имеем неравенство:

\[ |x^2 - 5x + 4| \leq |x^2 - 4| \]

Давайте рассмотрим обе части по отдельности:

1. Рассмотрим \( |x^2 - 5x + 4| \):

\[ x^2 - 5x + 4 \] \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \]

2. Рассмотрим \( |x^2 - 4| \):

\[ x^2 - 4 \] \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]

Таким образом, неравенство примет вид:

\[ |(x - 1)(x - 4)| \leq |(x - 2)(x + 2)| \]

Теперь рассмотрим все возможные интервалы, где это неравенство может быть выполнено. Рассмотрим интервалы, обусловленные каждым из множителей.

1. \( (x - 1) \) и \( (x - 4) \): - Если \( x < 1 \), оба множителя будут положительными. - Если \( 1 < x < 4 \), первый множитель отрицательный, второй положительный. - Если \( x > 4 \), оба множителя снова будут положительными.

2. \( (x - 2) \) и \( (x + 2) \): - Если \( x < -2 \), оба множителя будут отрицательными. - Если \( -2 < x < 2 \), первый множитель отрицательный, второй положительный. - Если \( x > 2 \), оба множителя снова будут положительными.

Теперь объединим результаты:

1. Неравенство выполнено, когда \( x < 1 \). 2. Неравенство выполнено, когда \( 1 < x < 2 \). 3. Неравенство выполнено, когда \( 2 < x < 4 \). 4. Неравенство выполнено, когда \( x > 4 \).

Итак, решение данного неравенства - это объединение этих интервалов:

\[ x \in (-\infty, 1] \cup (1, 2) \cup (2, 4) \cup [4, +\infty) \]

Таким образом, неравенство \( |x^2 - 5x + 4| \leq |x^2 - 4| \) выполняется для указанных значений \( x \).