Question

Решить уравнение x^4=(x-2)^2

Answer 1

X^4 = (x-2)^2
(x^2)^2 - (x-2)^2 = 0
 левая часть уравнения - это разность квадратов

(x^2-x+2)(x^2+x-2)=0

x^2+x - 2 = 0
 D=1+8 = 9
x1 = (-1+3)/2 = 1
x2 = (-1-3)/2 = -2

Answer 2

Извлекаем корень:
х² = х -2. х² = -х + 2
х² - х + 2 = 0. х² + х - 2 = 0
D < 0, х1 = -2 ; х = 1
корней нет
Ответ: -2 ; 1

Answer 3

Для решения данного уравнения x^4 = (x-2)^2, мы можем использовать алгебраические методы. Давайте разберемся подробнее.

Шаг 1: Приведение уравнения к квадратному виду

Для начала, раскроем квадрат в правой части уравнения. Так как (x-2)^2 = (x-2)(x-2) = x^2 - 4x + 4, уравнение станет следующим: x^4 = x^2 - 4x + 4.

Шаг 2: Приведение уравнения к одной стороне

После раскрытия скобок, перенесем все члены в одну сторону уравнения: x^4 - x^2 + 4x - 4 = 0.

Шаг 3: Факторизация уравнения

Далее, попробуем факторизовать уравнение. Однако, данное уравнение не факторизуется в простых целых числах. Поэтому, мы должны использовать другой метод для его решения.

Шаг 4: Поиск рациональных корней

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях (теорема о рациональных корнях говорит о том, что если рациональное число p/q является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то p должно делиться на коэффициент при наивысшей степени, а q должно делиться на коэффициент при свободном члене). В данном случае, свободный член равен -4, а коэффициент при наивысшей степени равен 1. По теореме о рациональных корнях, все рациональные корни данного уравнения должны быть делителями -4.

Шаг 5: Проверка рациональных корней

Попробуем проверить все делители -4 и найти рациональные корни уравнения. Делители -4: -4, -2, -1, 1, 2, 4. Подставим эти значения в уравнение и проверим, являются ли они корнями.

Для x = -4: (-4)^4 - (-4)^2 + 4(-4) - 4 = 256 - 16 - 16 - 4 = 220 (не является корнем) Для x = -2: (-2)^4 - (-2)^2 + 4(-2) - 4 = 16 - 4 - 8 - 4 = 0 (является корнем) Для x = -1: (-1)^4 - (-1)^2 + 4(-1) - 4 = 1 - 1 - 4 - 4 = -8 (не является корнем) Для x = 1: 1^4 - 1^2 + 4(1) - 4 = 1 - 1 + 4 - 4 = 0 (является корнем) Для x = 2: 2^4 - 2^2 + 4(2) - 4 = 16 - 4 + 8 - 4 = 16 (не является корнем) Для x = 4: 4^4 - 4^2 + 4(4) - 4 = 256 - 16 + 16 - 4 = 252 (не является корнем)

Шаг 6: Найденные корни

Таким образом, рациональные корни уравнения x^4 = (x-2)^2 равны x = -2 и x = 1.

Шаг 7: Проверка корней

Чтобы проверить, действительно ли найденные корни являются решениями, подставим их в исходное уравнение и убедимся, что оно выполняется: - Для x = -2: (-2)^4 = (-2-2)^2 => 16 = 0 (не выполняется) - Для x = 1: 1^4 = (1-2)^2 => 1 = 1 (выполняется)

Шаг 8: Окончательный ответ

Таким образом, уравнение x^4 = (x-2)^2 имеет одно рациональное решение x = 1.