Question

Решить уравнения А) (1+корень из 2 cos(x+п/4))(tg x - 3) = 0 Б) 2 sin x/2 cos x/2 = cosx/2

Answer 1

$a)$

$(1+ \sqrt{2} cos(x+ \frac{ \pi }{4} ))(tgx-3)=0$

$1+ \sqrt{2} cos(x+ \frac{ \pi }{4}) =0$   или   $tgx-3=0$

$\sqrt{2} cos(x+ \frac{ \pi }{4}) =-1$   или    $tgx=3$

$cos(x+ \frac{ \pi }{4}) =- \frac{1}{ \sqrt{2} }$   или   $x=arctg3+ \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

$x+ \frac{ \pi }{4} =$ ± $arccos(- \frac{1}{ \sqrt{2} } )+2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$x+ \frac{ \pi }{4}=$ ± $(\pi-arccos \frac{1}{ \sqrt{2} })+2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$x+ \frac{ \pi }{4} =$ ± $( \pi - \frac{ \pi }{4} )+2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$x+ \frac{ \pi }{4} =$ ± $\frac{3 \pi }{4} +2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$x= \frac{3 \pi }{4}- \frac{ \pi }{4} +2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$   или $x=- \frac{3 \pi }{4} - \frac{ \pi }{4}+2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$   или  $x=- \pi +2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$

$b)$

$2sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} =cos \frac{x}{2}$

$2sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} -cos \frac{x}{2} =0$

$cos \frac{x}{2}(2sin \frac{x}{2} -1) =0$

$cos \frac{x}{2} =0$   или   $2sin \frac{x}{2} -1 =0$

$\frac{x}{2} = \frac{ \pi }{2} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$   или   $sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

$x= \pi +2 \pi n,$ $n$ ∈ $Z$   или $\frac{x}{2} =(-1)^karcsin \frac{1}{2}+ \pi k,$ $k$ ∈ $Z$
                                                                
                                             $\frac{x}{2} =(-1)^k \frac{ \pi }{6} + \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

                                             ${x}} =(-1)^k \frac{ \pi }{3} }+ 2\pi k,$ $k$ ∈ $Z$

Answer 2

Решение уравнения А:

Дано уравнение: (1 + √2 cos(x + π/4))(tg(x - 3)) = 0

Разобьем его на два уравнения:

1. 1 + √2 cos(x + π/4) = 0 2. tg(x - 3) = 0

Решим первое уравнение:

1 + √2 cos(x + π/4) = 0 √2 cos(x + π/4) = -1 cos(x + π/4) = -1/√2

Так как cos(π/4) = 1/√2, то получаем:

x + π/4 = π + π/4 + 2πk, где k - любое целое число.

x = π + π/2 + 2πk, где k - любое целое число.

Решим второе уравнение:

tg(x - 3) = 0 x - 3 = πk, где k - любое целое число.

x = 3 + πk, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения А имеет вид:

x = 3 + πk, где k - любое целое число, и x = π + π/2 + 2πk, где k - любое целое число.

Решение уравнения Б:

Дано уравнение: 2 sin(x/2) + cos(x/2) = cos(x/2)

Перенесем все члены в одну сторону:

2 sin(x/2) = 0

Для того чтобы sin(x/2) = 0, x/2 должен быть равен 0 или π. Таким образом, получаем:

x/2 = 0, π

x = 0, 2π

Таким образом, решения уравнения Б имеют вид:

x = 0, 2π.