Question

Вычислите: sin(2arcctgx)

Answer 1

Обозначим a = arcctg x. Тогда нужно найти sin 2a = 2 sin a cos a

x = ctg a;  sin a = ?
ctg^2 x + 1 = 1 / sin^2 a
sin^2 a = 1/ (x^2 + 1)
sin a = +sqrt(...), если x > 0, и -sqrt(...), если x < 0

cos^2 a = 1 - sin^2 a = x^2 / (x^2 + 1)
cos a = | x | / sqrt(x^2 + 1)

sin 2a = 2x / (x^2 + 1)

Answer 2

Для начала, давайте определим значение арккотангенса (arcctg). Арккотангенс - это обратная функция котангенса, то есть если ctg(x) = y, то arcctg(y) = x.

Таким образом, мы можем записать уравнение в следующем виде:

sin(2arcctg(x))

Заметим, что sin(2x) можно представить в виде формулы двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем применить эту формулу к нашему уравнению:

sin(2arcctg(x)) = 2sin(arcctg(x))cos(arcctg(x))

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими соотношениями для нахождения sin и cos от арккотангенса.

Пусть ctg(x) = y, тогда можно записать:

cos(x) = 1 / sqrt(1 + y^2) sin(x) = y / sqrt(1 + y^2)

Подставим эти значения в наше уравнение:

2sin(arcctg(x))cos(arcctg(x)) = 2 * (y / sqrt(1 + y^2)) * (1 / sqrt(1 + y^2))

Заметим, что sqrt(1 + y^2) * sqrt(1 + y^2) = 1 + y^2. Подставим это значение:

2 * (y / sqrt(1 + y^2)) * (1 / sqrt(1 + y^2)) = 2y / (1 + y^2)

Таким образом, sin(2arcctg(x)) = 2y / (1 + y^2)

Итак, мы вычислили значение sin(2arcctg(x)) и получили ответ: 2y / (1 + y^2)