Question

СРОЧНО! Решите систему: x+y=pi/2 sinx+cosy=√2

Answer 1

Выражаем x:
x=pi/2-y,
подставляем во 2 уравнение:
sin(pi/2-y)+cosy=кор(2)
sin(pi/2)*cos(y)-sin(y)*cos(pi/2)+cosy=кор(2)
1*cos(y)-sin(y)*0+cosy=кор(2)
2cos(y)=кор(2)
cos(y)=кор(2)/2
y1=pi/4
y2=-pi/4
x1=pi/2-pi/4=pi/4
x2=pi/2+pi/4=3pi/4
Ответ: (pi/4;pi/4) и (-pi/4;3pi/4)

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

1. \(x + y = \frac{\pi}{2}\) 2. \(\sin(x) + \cos(y) = \sqrt{2}\)

Для начала рассмотрим первое уравнение. У нас есть \(x + y = \frac{\pi}{2}\).

Теперь рассмотрим второе уравнение. Мы видим, что \(\sin(x) + \cos(y) = \sqrt{2}\).

Мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами: \[ \sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \] \[ \cos(y) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - y\right) \]

Подставим эти выражения во второе уравнение:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \sqrt{2} \]

Теперь мы можем использовать первое уравнение (\(x + y = \frac{\pi}{2}\)) и заменить \(y\) на \(\frac{\pi}{2} - x\):

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \sqrt{2} \]

Упростим выражение:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(x) = \sqrt{2} \]

Теперь вернемся к первому уравнению и выразим \(y\) через \(x\):

\[ x + y = \frac{\pi}{2} \]

\[ y = \frac{\pi}{2} - x \]

Подставим это значение \(y\) в уравнение:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(x) = \sqrt{2} \]

Теперь у нас есть одно уравнение с одной неизвестной (\(x\)). Это уравнение можно решить численно, например, с использованием метода Ньютона или других методов численного решения уравнений.

Решение этого уравнения даст нам значение \(x\), и мы сможем найти соответствующее значение \(y\) из уравнения \(y = \frac{\pi}{2} - x\).