Question

F(x)=x^3-3x, x є [0,2]

Answer 1

F`(x)=3x²-3=0
3(x-1)(x+1)=0
x=1∈[0;2]
x=-1∉[0;2]
F(0)=0
f(1)=1-3=-2наим
F(2)=8-6=2наиб

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 - 3x \) на интервале \( x \) от 0 до 2, то есть при \( x \) из \([0,2]\).

1. Найдем критические точки:

Найдем производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)

Теперь найдем значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \):

\( 3x^2 - 3 = 0 \)

\( x^2 - 1 = 0 \)

\( (x - 1)(x + 1) = 0 \)

Отсюда получаем две критические точки \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

2. Найдем значения функции на концах интервала и критических точках:

\( f(0) = (0)^3 - 3(0) = 0 \)

\( f(1) = (1)^3 - 3(1) = -2 \)

\( f(2) = (2)^3 - 3(2) = 2 \)

Таким образом, на концах интервала \( x \) функция принимает значения 0 и 2, а в критической точке \( x = 1 \) значение -2.

3. Исследование знака производной:

Рассмотрим интервалы между критическими точками \( x = -1, 1 \) и концами интервала \( x = 0, 2 \).

- Для \( x < -1 \), \( f'(x) > 0 \), значит, функция возрастает. - Для \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \), значит, функция убывает. - Для \( 1 < x < 2 \), \( f'(x) > 0 \), значит, функция возрастает.

4. Выводы:

- Функция \( f(x) \) имеет локальный максимум в точке \( x = -1 \) и локальный минимум в точке \( x = 1 \). - На интервале \([0,2]\) функция принимает минимальное значение -2 при \( x = 1 \) и максимальное значение 2 при \( x = 2 \). - График функции будет иметь форму, включающую локальный минимум, локальный максимум и возрастающие и убывающие участки.