Question

Дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0.Его корни x₁ и x₂.Найдите:1) x₁ и b,если a=10,x₂=⅖ и c=22)x₁ и c,если a=12,x₂=-¾ и b=17

Answer 1

по теореме Виета x₁*x₂=с, значит x₁=5, x₁+x₂=-b , b = -5,4

2) x₁+x₂=-b , x₁= -16,25, c = 12,1875

Answer 2

Давайте решим каждую из задач по порядку.

1. \(x₁\) и \(b\), если \(a = 10\), \(x₂ = \frac{2}{5}\), и \(c = 22\)

У нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 10\), \(x₂ = \frac{2}{5}\), и \(c = 22\).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Сначала найдем корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot 10 \cdot 22}}{2 \cdot 10} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 880}}{20} \]

Так как \(x₂ = \frac{2}{5}\), мы знаем, что одним из корней является \(\frac{2}{5}\):

\[ \frac{2}{5} = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 880}}{20} \]

Умножим обе стороны на 20:

\[ 8 = -b + \sqrt{b^2 - 880} \]

Теперь найдем значение \(b\):

\[ \sqrt{b^2 - 880} = 8 + b \]

\[ b^2 - 880 = (8 + b)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ b^2 - 880 = 64 + 16b + b^2 \]

Теперь упростим:

\[ -880 = 64 + 16b \]

\[ -944 = 16b \]

\[ b = -59 \]

Таким образом, \(b = -59\), а значение \(x₁\) равно \(\frac{2}{5}\).

2. \(x₁\) и \(c\), если \(a = 12\), \(x₂ = -\frac{3}{4}\), и \(b = 17\)

Мы имеем уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 12\), \(x₂ = -\frac{3}{4}\), и \(b = 17\).

Используем ту же формулу для нахождения корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 12 \cdot c}}{2 \cdot 12} \]

Так как \(x₂ = -\frac{3}{4}\), то \(x_{1,2} = -\frac{3}{4}\).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[ -\frac{3}{4} = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 12 \cdot c}}{24} \]

Умножим обе стороны на 24:

\[ -18 = -17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 12 \cdot c} \]

\[ -1 = \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 12 \cdot c} \]

Возводим в квадрат:

\[ 1 = 289 - 48c \]

\[ 48c = 288 \]

\[ c = 6 \]

Таким образом, \(c = 6\), а значение \(x₁\) равно \(-\frac{3}{4}\).