Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=(x-2)^3+4 на отрезке [0;3]

Answer 1

производная равна 3(x-2)=3x-6

приравниваем к нулю и получаем х=2 это число в ходит в данный отрезок, значит подставляем все три значения в нашу функцию

у(0)=(0-2)^3+4=-8+4=-4

y(2)=(2-2)^3+4=4

y(3)=(3-2)^3+4=5

следовательно наибольшре у=5, наименьшее у=-4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=(x-2)^3+4 на отрезке [0;3], нам нужно проанализировать поведение функции на этом отрезке.

Нахождение критических точек

Первым шагом является нахождение критических точек функции, то есть точек, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого найдем производную функции y по переменной x и приравняем ее к нулю:

dy/dx = 3(x-2)^2 = 0

Решим это уравнение:

3(x-2)^2 = 0
(x-2)^2 = 0
x-2 = 0
x = 2

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x=2.

Анализ поведения функции

Для определения, является ли найденная критическая точка локальным максимумом или минимумом, а также для определения поведения функции на границах отрезка [0;3], мы можем использовать вторую производную функции.

d^2y/dx^2 = 6(x-2)

Подставим критическую точку x=2 во вторую производную:

d^2y/dx^2 = 6(2-2) = 0

Таким образом, у нас нет информации о поведении функции в точке x=2 с помощью второй производной. Однако, мы можем проанализировать поведение функции на границах отрезка [0;3].

Поведение на границах отрезка

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на границах отрезка [0;3], мы можем подставить значения границ в функцию и сравнить результаты.

Подставим x=0 в функцию:

y(0) = (0-2)^3+4 = (-2)^3+4 = -8+4 = -4

Подставим x=3 в функцию:

y(3) = (3-2)^3+4 = (1)^3+4 = 1+4 = 5

Таким образом, на границе отрезка [0;3], наименьшее значение функции y равно -4, а наибольшее значение равно 5.

Вывод

Наибольшее значение функции y=(x-2)^3+4 на отрезке [0;3] равно 5, а наименьшее значение равно -4.