Question

Довести тотожність: cos4 a tg2 a - sin4 a = -tg a

Answer 1

$\cos4 \alpha tg2\alpha -\sin4\alpha = \dfrac{\cos 4\alpha \sin2\alpha -\sin4\alpha \cos2\alpha }{\cos2\alpha } =\\ \\ = \dfrac{-\sin(4\alpha -2\alpha )}{\cos2\alpha } =- \dfrac{\sin2\alpha }{\cos2\alpha } =-tg2\alpha$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и попробуем доказать его. Уравнение, которое нам нужно доказать, выглядит следующим образом:

cos^4(a) + tan^2(a) - sin^4(a) = -tan(a)

Для начала, давайте преобразуем выражение с помощью тригонометрических тождеств.

Используем тригонометрическое тождество: sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Умножим обе части этого тождества на cos^2(a):

cos^2(a) * (sin^2(a) + cos^2(a)) = cos^2(a) * 1 cos^2(a) * sin^2(a) + cos^4(a) = cos^2(a)

Теперь преобразуем выражение с помощью формулы тангенса:

tan(a) = sin(a) / cos(a) tan^2(a) = (sin^2(a) / cos^2(a))

Заменим tan^2(a) в исходном уравнении:

cos^4(a) + (sin^2(a) / cos^2(a)) - sin^4(a) = -tan(a)

Теперь заменим sin^4(a) с помощью предыдущего тождества:

cos^4(a) + (sin^2(a) / cos^2(a)) - (cos^2(a) - cos^4(a)) = -tan(a)

Сократим подобные члены:

2cos^4(a) + (sin^2(a) / cos^2(a)) - cos^2(a) = -tan(a)

Теперь объединим все члены с общим знаменателем:

(2cos^4(a) + sin^2(a) - cos^4(a) * cos^2(a)) / cos^2(a) = -tan(a)

Упростим числитель:

cos^4(a) + sin^2(a) - cos^6(a) = -tan(a) * cos^2(a)

Используем тригонометрическое тождество: sin^2(a) = 1 - cos^2(a):

cos^4(a) + (1 - cos^2(a)) - cos^6(a) = -tan(a) * cos^2(a)

Упростим:

2cos^4(a) - cos^6(a) = -tan(a) * cos^2(a)

Теперь преобразуем левую часть выражения:

cos^4(a) * (2 - cos^2(a)) = -tan(a) * cos^2(a)

Используем тригонометрическое тождество: cos^2(a) = 1 - sin^2(a):

cos^4(a) * (2 - (1 - sin^2(a))) = -tan(a) * (1 - sin^2(a))

Упростим:

cos^4(a) * (1 + sin^2(a)) = -tan(a) * (1 - sin^2(a))

Теперь заменим tan(a) с помощью тригонометрического тождества: tan(a) = sin(a) / cos(a):

cos^4(a) * (1 + sin^2(a)) = -sin(a) / cos(a) * (1 - sin^2(a))

Упростим:

cos^4(a) * (1 + sin^2(a)) = -sin(a) * (1 - sin^2(a)) / cos(a)

Раскроем скобки:

cos^4(a) + cos^4(a) * sin^2(a) = -sin(a) + sin^3(a) / cos(a)

Теперь применим тригонометрическое тождество: sin^2(a) = 1 - cos^2(a):

cos^4(a) + cos^4(a) * (1 - cos^2(a)) = -sin(a) + sin^3(a) / cos(a)

Упростим:

cos^4(a) + cos^4(a) - cos^6(a) = -sin(a) + sin^3(a) / cos(a)

Сократим подобные члены:

2cos^4(a) - cos^6(a) = -sin(a) + sin^3(a) / cos(a)

Теперь преобразуем правую часть:

-sin(a) + sin^3(a) / cos(a) = -sin(a) * cos(a) / cos(a) + sin^3(a) / cos(a)

Упростим:

-sin(a) + sin^3(a) / cos(a) = -sin(a) * cos(a) + sin^3(a) / cos(a)

Теперь объединим все члены с общим знаменателем:

2cos^4(a) - cos^6(a) = (-sin(a) * cos(a) + sin^3(a)) / cos(a)

Упростим числитель:

2cos^4(a) - cos^6(a) = sin(a) * (sin^2(a) - cos(a)) / cos(a)

Используем тригонометрическое тождество: sin^2(a) = 1 - cos^2(a):

2cos^4(a) - cos^6(a) = sin(a) * ((1 - cos^2(a)) - cos(a)) / cos(a)

Упростим:

2cos^4(a) - cos^6(a) = sin(a) * (1 - 2cos^2(a)) / cos(a)

Раскроем скобки:

2cos^4(a) - cos^6(a) = sin(a) - 2sin(a)cos^2(a) / cos(a)

Сократим подобные члены:

2cos^4(a) - cos^6(a) = sin(a) - 2sin(a)cos(a)

Теперь используем тригонометрическое тождество: sin(a) = tan(a) * cos(a):

2cos^4(a) - cos^6(a) = tan(a) * cos(a) - 2tan(a)cos(a)

Сократим подобные члены:

2cos^4(a) - cos^6(a) = -cos(a) * (tan(a) + 2tan(a))

Теперь объединим все члены:

2cos^4(a) - cos^6(a) = -cos(a) * 3tan(a)

Разделим обе части на cos(a):

2cos^3(a) - cos^5(a) = -3tan(a)

Теперь заменим tan(a) с помощью тригонометрического тождества: tan(a) = sin(a) / cos(a):

2cos^3(a) - cos^5(a) = -3sin(a) / cos(a)

Умножим обе части на cos(a):

2cos^4(a) - cos^6(a) = -3sin(a)

Теперь заменим sin(a) с помощью тригонометрического тождества: sin(a) = 1 - cos^2(a):

2cos^4(a) - cos^6(a) = -3(1 - cos^2(a))

Раскроем скобки:

2cos^4(a) - cos^6(a) = -3 + 3cos^2(a)

Сократим подобные члены:

2cos^4(a) - cos^6(a) + 3 - 3cos^2(a) = 0

Теперь приведем уравнение к виду квадратного трехчлена:

cos^6(a) - 2cos^4(a) + 3cos^2(a) - 3 = 0

Однако, это уравнение не равно -tg(a). Таким образом, мы не смогли доказать данную тождественную равность. Возможно, была допущена ошибка в исходном уравнении или в процессе доказательства. Пожалуйста, уточните исходные данные или уточните, если у вас есть другие вопросы.