Question

Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2 и y=x+2

Answer 1

Чертёж ты уж как-нибудь сама, ладно? Параболу умеешь рисовать? 
Сначала нарисуй, а потом читай дальше. Готово? Ок, поехали.

Во-первых, нам нужно заметить, что эти две линии пересекаются в двух точках. Что же это за точки? Давай решим уравнение
x^2 = x + 2
Увау! Квадратное. Ладно, дискриминант тоже сама выпиши, а я уж позволю себе решить его устно, и узнаю, что корни будут -1 и 2. По теореме Безу решил, если что.

Смотрим на чертёж ещё раз. Искомая фигура ограничена снизу параболой, а сверху прямой. И они пересекаются в точках -1 и 2. Эдакая получается долька.

Как же найти площадь дольки? Очень просто - нужно сначала взять площадь трапеции, имеющей вершинами две точки пересечения графиков, и две точки на оси ОХ с координатами -1 и 2. Для наглядности можно заштриховать наклонной штриховкой эту трапецию. Пусть это будет площадь S1.

А теперь возьмём площадь ПОД параболой, в тех же пределах, пусть это будет площадь S2. Разница S = S1 - S2 и будет ответом.

Ок, дело осталось за малым - найти S1 и S2.
S1 ищем как учили в геометрии - произведение полусуммы оснований на высоту.
Одно (левое ) основание у нас есть отрезок (-1;0) - (-1;1), и его длина равна 1. Второе (правое) основание есть отрезок (2;0) - (2;4), и его длина равна 4. Высота трапеции - отрезок (-1;0) - (2;0), его длина равна 3. Подставляем в формулу, получаем (1 + 4 ) / 2 * 3 = 7,5.

S2 ищем как учили в алгебре - первообразная в правой точке, минус первообразная в левой точке. Чему же равна первообразная для параболы? - это кубическая парабола, и её уравнение имеет вид
F = 1/3 * x^3
Чему равно F(2)?   F(2) = 1/3 * 2^3 = 8/3
Чему равно F(-1)?   F(2) = 1/3 * (-1)^3 = -1/3
 Чему равно F(2) - F(1) ?    F(2) - F(1) = 8/3 - (-1/3) = 9/3 = 3.

Итак, мы пришли к тому, что S1 = 7,5, и S2 = 3
Отсюда получаем ответ: S = S1 - S2 = 7,5 - 3 = 4,5.

Так? Проверь за мной что не ошибся - доверяй, но проверяй.

Answer 2

К сожалению, я не могу создавать чертежи, но я могу объяснить, как вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y = x + 2\).

Для определения области между двумя кривыми, нужно вычесть одну кривую из другой и найти точки пересечения.

Первым делом, найдем точки пересечения \(y = x^2\) и \(y = x + 2\). Поставим их равными друг другу:

\[ x^2 = x + 2 \]

Получим квадратное уравнение:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем факторизовать его или использовать квадратное уравнение:

\[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

Отсюда следует, что \(x = 2\) или \(x = -1\). Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \((-1, 1)\) и \((2, 4)\).

Теперь мы можем вычислить интеграл от \(x^2\) до \(x + 2\) по оси x в пределах от \(-1\) до \(2\), чтобы найти площадь фигуры:

\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \,dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[ \text{Площадь} = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]

Подставим верхний предел:

\[ \text{Площадь} = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) \]

Вычислим это:

\[ \text{Площадь} = (2 + 4 - \frac{8}{3}) \]

\[ \text{Площадь} = \frac{6}{3} + \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \]

\[ \text{Площадь} = \frac{10}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y = x + 2\) в пределах от \(-1\) до \(2\), равна \(\frac{10}{3}\).