Question

Решить уравнение. Применив подстановку y = cosx - sinx, решите уравнение: 4-4(cosx - sinx) = sin2x

Answer 1

$4-4(cosx-sinx)=sin2x\\\\y=cosx-sinx\\y^2=(cosx-sinx)^2\\y^2=cos^2x-2sinx*cosx+sin^2x\\y^2=1-2sinx*cosx\\y^2-1=-2sinx*cosx\\\\4-4(cosx-sinx)-sin2x=0\\4-4(cosx-sinx)-2sinx*cosx=0\\4-4y+y^2-1=0\\y^2-4y+3=0\\D=16-12=4\\\\y_1=\frac{4+2}{2}=\frac{6}2=3\\\\y_2=\frac{4-2}2=\frac{2}2=1$

Обратная подстановка.
$y=cosx-sinx\\\\ \left[\begin{array}{ccc}cosx-sinx=1\\cosx-sinx=3\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}-\sqrt2sin(x-\frac{\pi}4)=1\\-\sqrt2sin(x-\frac{\pi}4)=3\end{array}\right=\ \textgreater \ \\\left[\begin{array}{ccc}sin(x-\frac{\pi}4)=\frac{\sqrt2}2\\sin(x-\frac{\pi}4) \neq -\frac{3\sqrt2}2\end{array}\right=\ \textgreater \ sinx(x-\frac{\pi}4) =\frac{\sqrt2}2\\\\ \left[\begin{array}{ccc}x-\frac{\pi}4=\frac{\pi}4+2\pi n;n\in Z\\x-\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4+2\pi n;n\in Z\end{array}\right=\ \textgreater$ $\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi}2+2\pi n;n\in Z\\x=\pi+2\pi n;n\in Z\end{array}\right$

Answer 2

$4-4(\cos x-\sin x)=\sin2x\\ 4(\sin^2x+\cos^2x)-4(\cos x-\sin x)=\sin2x\\ 4(\sin^2x+\cos^2x-\sin2x+\sin2x)-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x\\ 4(\cos x-\sin x)^2+4\sin2x-4(\cos x-\sin x)=\sin 2x\\ 4(\cos x-\sin x)^2-4(\cos x-\sin x)+3\sin2x=0$
Пусть $\cos x-\sin x=t\,(|t| \leq \sqrt{2} )$, тогда возведем обе части до квадрата и получаем 1-sin2x=t², откуда sin2x=1-t²
$4t^2-4t+3(1-t^2)=0\\ 4t^2-4t+3-3t^2=0\\ t^2-4t+3=0$
По т. Виета
t1 = 1
t2 = 3 - не удовлетворяет условию при |t|√2

Возвращаемся к замене
$\cos x-\sin x=1\\-  \sqrt{2} \sin(x- \frac{\pi}{4})=1\\ x- \frac{\pi}{4}= (-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z\\ x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z$

Answer 3

Давайте решим уравнение, используя подстановку y = cosx - sinx. Уравнение, которое мы должны решить, выглядит следующим образом:

4 - 4(cosx - sinx) = sin^2(x)

Для начала, заменим y на cosx - sinx в уравнении:

4 - 4(cosx - sinx) = sin^2(x) 4 - 4cosx + 4sinx = sin^2(x)

Теперь раскроем скобки:

4 - 4cosx + 4sinx = sin^2(x) 4 + 4sinx - 4cosx = sin^2(x)

После этого приведем уравнение к квадратному виду:

sin^2(x) - 4sinx + 4cosx - 4 = 0

На данный момент мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Для его решения нам нужно выразить sin(x) через cos(x) с помощью тригонометрической тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - cos^2(x) - 4sinx + 4cosx - 4 = 0

Теперь приведем уравнение к квадратному виду, используя замену u = cos(x):

1 - u^2 - 4sinx + 4u - 4 = 0 - u^2 + 4u - 3 - 4sinx = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно u. Решим его с помощью квадратного трехчлена:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае a = -1, b = 4 и c = -3. Подставим эти значения в формулу:

u = (-4 ± √(4^2 - 4(-1)(-3))) / (2(-1)) u = (-4 ± √(16 - 12)) / (-2) u = (-4 ± √4) / (-2) u = (-4 ± 2) / (-2)

Теперь найдем два значения u:

u1 = (-4 + 2) / -2 = -1 u2 = (-4 - 2) / -2 = 3

Теперь заменим u на cos(x) в каждом из решений:

cos(x) = -1 cos(x) = 3

Поскольку косинус не может быть больше 1 или меньше -1, второе решение cos(x) = 3 не имеет решения.

Таким образом, у нас есть одно решение cos(x) = -1. Это происходит, когда x = π + 2πk, где k - целое число.

Итак, решение уравнения cos(x) - sin(x) = 4 - 4(cos(x) - sin(x)) = sin^2(x) состоит из одного значения x = π + 2πk, где k - целое число.