Question

Решите пожалуйста интеграл x^2dx/(2x^2-1)^2

Answer 1

$\int \frac{x^2\, dx}{(2x^2-1)^2}=\int \left (x\cdot \frac{x\, dx}{(2x^2-1)^2}\right )=[\, u=x\; ,\; du=dx\; ,\; dv=\frac{x\, dx}{(2x^2-1)^2}\; ,\\\\v=\frac{1}{4}\int \frac{4xdx}{(2x^2-1)^2}=\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{4t}\; ,\; \; \int u\cdot dv=uv-\int v\, du\, ]=\\\\=-\frac{x}{4(2x^2-1)}-\int (-\frac{dx}{4(2x^2-1)})=-\frac{x}{4(2x^2-1)}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2-\frac{1}{2}}=$

$=-\frac{x}{4(2x^2-1)}+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{\sqrt2}}\cdot ln|\frac{x-\frac{1}{\sqrt2}}{x+\frac{1}{\sqrt2}}|+C=$

$=-\frac{x}{4(2x^2-1)}+\frac{\sqrt2}{16}\cdot ln\left |\frac{\sqrt2x-1}{\sqrt2x+1}\right |+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом частичных дробей. Задача состоит в том, чтобы представить выражение в виде суммы простых дробей. Итак, начнем:

\[ \int \frac{x^2}{(2x^2-1)^2} \,dx \]

1. Факторизуем знаменатель:

\[ (2x^2-1)^2 = (2x^2-1)(2x^2-1) = (2x^2-1)(2x+1)(2x-1) \]

2. Теперь представим исходное выражение в виде суммы частных дробей:

\[ \frac{x^2}{(2x^2-1)^2} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{(2x-1)^2} \]

3. Умножаем обе стороны на общий знаменатель и приводим к общему знаменателю:

\[ x^2 = A(2x-1)(2x-1) + B(2x+1)(2x-1) + C(2x+1) \]

4. Раскрываем скобки и собираем коэффициенты при одинаковых степенях x:

\[ x^2 = (A + B) \cdot (4x^2 - 1) + (C - 2A) \cdot (2x+1) \]

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x:

- Для \(x^2\): \(A + B = 1\) - Для \(x\): \(C - 2A = 0\) - Для свободного члена: \(0 = 0\)

Решим эту систему уравнений:

Из уравнения \(C - 2A = 0\) получаем, что \(C = 2A\).

Подставим это в уравнение \(A + B = 1\):

\[ A + B = 1 \] \[ A + \frac{C}{2} = 1 \] \[ A + \frac{2A}{2} = 1 \] \[ A + A = 1 \] \[ 2A = 1 \] \[ A = \frac{1}{2} \]

Теперь найдем B, зная A:

\[ B = 1 - A = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Итак, разложение на частные дроби будет следующим образом:

\[ \frac{x^2}{(2x^2-1)^2} = \frac{1/2}{2x-1} + \frac{1/2}{2x+1} + \frac{2A}{(2x-1)^2} \]

Теперь мы можем проинтегрировать каждую из частей. Интеграл от каждой части легко находится, и вы получите окончательное выражение для заданного интеграла.