Question

Производная от функции f(x)= sin x* cos x

Answer 1

Производная произведения
(sinx)'cosx+sinx(cosx)'=cosx*cosx-sinx*sinx=cos^2x-sin^2x=cos2x

Answer 2

Конечно, давайте найдем производную функции \( f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).

Используем правило произведения двух функций. Если у нас есть функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их произведения равна:

\[ (uv)' = u'v + uv' \]

В данном случае, \( u(x) = \sin(x) \) и \( v(x) = \cos(x) \). Теперь найдем производные каждой из этих функций.

1. Производная \( \sin(x) \) по \( x \): \[ (\sin(x))' = \cos(x) \]

2. Производная \( \cos(x) \) по \( x \): \[ (\cos(x))' = -\sin(x) \]

Теперь подставим значения в формулу производной произведения:

\[ \begin{align*} (f(x))' &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\ &= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\ &= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\ &= \cos^2(x) - \sin^2(x) \end{align*} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) равна \( \cos^2(x) - \sin^2(x) \).