Question

Срочно!!!! f(x)=arctg e^-x , '(0)

Answer 1

Если f(0), то f(0)=arctg e^0=arctg 1= pi\4 или 45 градусов

Answer 2

Определение функции

Дана функция \(f(x) = \arctan(e^{-x})\), где \(\arctan\) обозначает арктангенс, а \(e\) обозначает основание натурального логарифма.

Вычисление производной

Чтобы найти производную функции \(f(x)\), мы должны применить правило дифференцирования для композиции функций, известное как правило цепочки (chain rule).

В нашем случае функция \(f(x)\) представляет собой композицию двух функций: арктангенса \(\arctan\) и экспоненты \(e^{-x}\). Поэтому мы должны вычислить производные этих функций по отдельности и затем применить правило цепочки.

Вычисление производной арктангенса

Производная арктангенса \(\arctan(u)\), где \(u\) - функция от \(x\), может быть выражена следующим образом:

\(\frac{d}{dx}(\arctan(u)) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}\)

Вычисление производной экспоненты

Производная функции экспоненты \(e^u\), где \(u\) - функция от \(x\), равна:

\(\frac{d}{dx}(e^u) = e^u \cdot \frac{du}{dx}\)

Применение правила цепочки

Теперь мы можем применить правило цепочки для вычисления производной функции \(f(x)\).

Для удобства обозначим \(u = e^{-x}\). Тогда наша функция \(f(x)\) может быть записана как \(f(x) = \arctan(u)\).

Применяя правило цепочки, мы получаем:

\(\frac{df}{dx} = \frac{d}{du}(\arctan(u)) \cdot \frac{du}{dx}\)

Подставляя производные, которые мы вычислили ранее, получаем:

\(\frac{df}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}\)

Теперь заменяем \(u\) обратно на \(e^{-x}\):

\(\frac{df}{dx} = \frac{1}{1 + (e^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})\)

Вычисление производной экспоненты \(e^{-x}\)

Производная функции \(e^{-x}\) может быть вычислена следующим образом:

\(\frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}\)

Подстановка в формулу производной \(f(x)\)

Теперь мы можем подставить производную экспоненты в формулу производной \(f(x)\