Question

Помогите Решить неравенство. 4x в квадрате + 4x - 3 все это больше или равно 0

Answer 1

Решение на фото............................................................................

Answer 2

Чтобы решить данное квадратное неравенство, нам нужно найти его корни (точки пересечения с осью X) и затем определить интервалы, на которых неравенство выполняется. Давайте начнем с нахождения корней уравнения.

Нахождение корней квадратного уравнения

Для начала, давайте представим неравенство в виде квадратного уравнения:

\[4x^2 + 4x - 3 = 0\]

Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней с помощью дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения.

Нахождение дискриминанта

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, у нас есть \(a = 4\), \(b = 4\), и \(c = -3\). Подставим эти значения в формулу для нахождения дискриминанта.

\[D = 4^2 - 4*4*(-3)\] \[D = 16 + 48\] \[D = 64\]

Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь, используя найденное значение дискриминанта, мы можем найти корни квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(D\) в формулу для нахождения корней:

\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2*4}\] \[x_{1,2} = \frac{-4 \pm 8}{8}\]

Таким образом, корни уравнения равны:

\[x_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\] \[x_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}\]

Построение интервалов

Теперь, когда мы нашли корни уравнения, нам нужно построить интервалы, на которых неравенство выполняется. Для этого мы можем использовать тестовую точку в каждом из интервалов и определить знак выражения \(4x^2 + 4x - 3\) на каждом из них.

Проверка интервалов

1. Выберем точку \(x = 0\). Подставим эту точку в выражение \(4x^2 + 4x - 3\):

\[4*0^2 + 4*0 - 3 = -3\]

Таким образом, на интервале \((-\infty, -\frac{3}{2})\) неравенство \(4x^2 + 4x - 3 \geq 0\) выполняется.

2. Теперь выберем точку \(x = 1\). Подставим эту точку в выражение \(4x^2 + 4x - 3\):

\[4*1^2 + 4*1 - 3 = 5\]

Таким образом, на интервале \((-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})\) неравенство \(4x^2 + 4x - 3 \geq 0\) не выполняется.

3. Наконец, выберем точку \(x = 2\). Подставим эту точку в выражение \(4x^2 + 4x - 3\):

\[4*