Question

Интегралл cos^4x sin x dx

Answer 1

Синус мы можем внести под дифференциал.
$\displaystyle \int\limits {\cos^4x\sin x} \, dx =-\int\limits {\cos^4x} \, d(\cos x)=- \frac{1}{5} \cdot \cos^5 x+C$

Answer 2

Можно решить через замену переменной

$\displaystyle \int\limits{cos^4x*sinx} \, dx=$

*****
$\displaystyle cos x=t -sinx dx= dt sin x dx= -dt$

******

$\displaystyle = \int\limits{-t^4} \, dt =- \frac{t^5}{5}+C=$

обратная замена

$\displaystyle = -\frac{t^5}{5}+C=-\frac{1}{5}cos^5x+C$

Answer 3

Для решения данного интеграла, нам потребуется использовать тригонометрические тождества и метод замены переменной.

Использование тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для косинуса в четвертой степени, чтобы переписать выражение `cos^4(x)` в виде:

cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = (1 - sin^2(x))^2

Теперь наш интеграл принимает вид:

∫ (cos^4(x) * sin(x)) dx = ∫ ((1 - sin^2(x))^2 * sin(x)) dx

Метод замены переменной

Далее мы можем сделать замену переменной, где `u = sin(x)`. Тогда `du = cos(x) dx`, и наш интеграл примет следующий вид:

∫ ((1 - u^2)^2 * du)

Упрощение выражения и интегрирование

Раскроем квадрат выражения `(1 - u^2)^2`:

∫ (1 - 2u^2 + u^4) du

Теперь мы можем интегрировать каждый член по отдельности:

∫ 1 du = u

∫ (-2u^2) du = -2 * (u^3) / 3

∫ (u^4) du = (u^5) / 5

Итоговый ответ

Собирая все части вместе, получаем окончательный ответ:

∫ ((1 - u^2)^2 * du) = u - 2u^3 / 3 + u^5 / 5

Заменяя обратно переменную `u` на `sin(x)`, мы получаем окончательный ответ:

∫ (cos^4(x) * sin(x)) dx = sin(x) - 2(sin^3(x)) / 3 + (sin^5(x)) / 5 + C

где `C` - произвольная постоянная.