Question

Решить неравенство lg(x+1)>lg(5-x)

Answer 1

С учётом ОДЗ составим систему неравенств:
х + 1 > 0              x > -1            x > -1
5 - x > 0               -x > -5          x < 5  
x + 1 > 5 - x, ⇒    2x > 4, ⇒      x > 2
Ответ: (2; 5)

Answer 2

Решение неравенства lg(x+1) > lg(5-x)

Для решения данного неравенства будем использовать определение логарифма и его свойства.

1. Определение логарифма: Логарифм от числа \(a\) по основанию \(b\), обозначается как \(\log_{b}a\), это такое число \(c\), что \(b^c = a\). То есть \(\log_{b}a = c\) тогда и только тогда, когда \(b^c = a\).

2. Свойства логарифмов: - \(\log_{b}(xy) = \log_{b}x + \log_{b}y\) - \(\log_{b}\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{b}x - \log_{b}y\) - \(\log_{b}x^n = n\log_{b}x\)

3. Решение неравенства: Начнем с того, что перепишем неравенство в эквивалентной форме, используя свойство логарифмов: \(\log_{10}(x+1) > \log_{10}(5-x)\)

Теперь применим свойство логарифмов \(\log_{b}a > \log_{b}c\) равносильно \(a > c\): \(x+1 > 5-x\)

Решим получившееся линейное неравенство: \(x+1 > 5-x\) \(x+x > 5-1\) \(2x > 4\) \(x > 2\)

Таким образом, решением исходного неравенства \(lg(x+1) > lg(5-x)\) является множество всех \(x\), для которых \(x > 2\).