Question

СРОЧНО!! Решить уравнение:2sinx*tgx-2tgx-cosx=0

Answer 1

Выносим тангенс и двойку. 2tg(sinx-cosx)=0; 2tg=0 sinx-cosx=0/:cosx 
1)2tg=0 2)tgx=1
частные случаи
1) x=pin
2)x=pi/4+pin

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться заменой тригонометрических функций. Давайте начнем с того, чтобы заменить тангенс и котангенс через синус и косинус:

\[ \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \] \[ \cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \]

Подставим эти замены в уравнение и упростим его:

\[ 2\sin{x} \cdot \frac{\sin{x}}{\cos{x}} - 2 \cdot \frac{\sin{x}}{\cos{x}} - \cos{x} = 0 \]

Теперь умножим обе стороны на \(\cos{x}\) чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 2\sin^2{x} - 2\sin{x} - \cos^2{x} = 0 \]

Мы можем заменить \(\cos^2{x}\) на \(1 - \sin^2{x}\) с помощью тригонометрического тождества \(\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}\):

\[ 2\sin^2{x} - 2\sin{x} - (1 - \sin^2{x}) = 0 \] \[ 2\sin^2{x} - 2\sin{x} - 1 + \sin^2{x} = 0 \] \[ 3\sin^2{x} - 2\sin{x} - 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin{x}\). Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) \] \[ D = 4 + 12 \] \[ D = 16 \]

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[ \sin{x} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ \sin{x} = \frac{2 \pm 4}{6} \]

Таким образом, получаем два значения \(\sin{x}\):

\[ \sin{x_1} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \] \[ \sin{x_2} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} \]

Теперь найдем соответствующие углы \(x\) для данных значений синуса. Найдем обратный синус для каждого значения:

\[ x_1 = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right), \]

Таким образом, у нас есть два набора корней для уравнения \(x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\) и \(x_2 = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\).