Question

Напишите уравнение касательной к графику функции а) y=sin 1/2 в точке x нулевое=пи/2 б) y=x в квадрате-2х, х нулевое = 2

Answer 1

а) y=sin(x/2)

y=f(п/2)+f'(п/2)(x-п/2)

f(п/2)=sin(п/4) = √2/2
f'(x)=1/2*cos(x/2)
f'(п/2)= 1/2*cos(п/4)=1/2 * √2/2= √2/4

y=√2/2 + √2/4*(x-п/2)
y=√2/2+x√2/4 - п√2/8
y=x√2/4 + √2/2 - п√2/8

б) y=x^2-2x

y=f(2)+f'(2)(x-2)

f(2)=4-4=0
f'(x)=2x-2
f'(2)=4-2=2

y=0+2(x-2)
y=2x-4 

Answer 2

а) Функция y = sin(1/2x) - это синусоида с периодом 4π и амплитудой 1. Угол наклона касательной к графику функции в точке x₀ = π/2 равен производной функции в этой точке.

Для нахождения производной функции y = sin(1/2x) воспользуемся формулой производной композиции функций: (dy/dx) = (dy/du) * (du/dx),

где u = 1/2x. dy/du - производная синуса равна косинусу: dy/du = cos(u) = cos(1/2x). du/dx - производная функции u = 1/2x равна 1/2: du/dx = 1/2.

Теперь подставим значения в формулу производной композиции функций: (dy/dx) = (dy/du) * (du/dx) = cos(1/2x) * 1/2.

Таким образом, производная функции y = sin(1/2x) равна (dy/dx) = cos(1/2x) * 1/2.

В точке x₀ = π/2 угол наклона касательной к графику функции будет равен значению производной в этой точке: (dy/dx) = cos(1/2 * π/2) * 1/2 = cos(π/4) * 1/2 = √2/2 * 1/2 = √2/4.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = sin(1/2x) в точке x₀ = π/2 будет иметь вид y = √2/4 * (x - π/2) + sin(π/2).

б) Функция y = x^2 - 2x - это парабола, которая открывается вверх. Угол наклона касательной к графику функции в точке x₀ = 2 равен производной функции в этой точке.

Для нахождения производной функции y = x^2 - 2x воспользуемся формулой производной степенной функции: (dy/dx) = 2x - 2.

Таким образом, производная функции y = x^2 - 2x равна (dy/dx) = 2x - 2.

В точке x₀ = 2 угол наклона касательной к графику функции будет равен значению производной в этой точке: (dy/dx) = 2 * 2 - 2 = 4 - 2 = 2.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^2 - 2x в точке x₀ = 2 будет иметь вид y = 2(x - 2) + (2^2 - 2(2)).