Question

Найдите первообразную для функции f(x)a) f(x) = sinx -cos2x+3^x (x -любое)б) f(x) = (x>0)

Answer 1

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для любого x из некоторого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x)

$a)~F(x)=\int(\sin x-\cos 2x+3^x)dx=-\cos x-\dfrac{\sin2x}{2}+\dfrac{3^x}{\ln 3}+C\\ \\ b)~ F(x)=\int(x^{\frac{4}{5}}-\sqrt{x}-\frac{1}{x})dx=\dfrac{5x^{\frac{9}{5}}}{9}-\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\ln|x|+C$

Answer 2

Для первообразной функции f(x) = sin(x) - cos(2x) + 3^x + C, где C - произвольная постоянная, мы можем использовать метод интегрирования по частям и правила дифференцирования функций.

a) f(x) = sin(x) - cos(2x) + 3^x + C

Для нахождения первообразной данной функции, мы можем применить метод интегрирования по частям. Правило интегрирования по частям гласит:

∫(u * v) dx = u * ∫ v dx - ∫(u' * ∫ v dx) dx

где u и v - функции от x, u' - производная функции u по x.

Давайте выберем u и v и применим это правило:

u = 3^x v = -cos(2x)

Тогда:

u' = (3^x)' = ln(3) * 3^x ∫ v dx = ∫ -cos(2x) dx = -1/2 * sin(2x)

Теперь, применяем правило интегрирования по частям:

∫(u * v) dx = u * ∫ v dx - ∫(u' * ∫ v dx) dx ∫(3^x * -cos(2x)) dx = 3^x * (-1/2 * sin(2x)) - ∫(ln(3) * 3^x * (-1/2 * sin(2x))) dx

Теперь у нас есть два интеграла, которые нужно рассмотреть отдельно:

Интеграл 1: ∫(3^x * (-1/2 * sin(2x))) dx Интеграл 2: ∫(ln(3) * 3^x * (-1/2 * sin(2x))) dx

Интеграл 1 можно решить путем применения правила интегрирования синуса:

∫(3^x * (-1/2 * sin(2x))) dx = ∫(3^x * (-1/2 * (2 * sin(x) * cos(x)))) dx = -1/2 * ∫(3^x * (2 * sin(x) * cos(x))) dx = -∫(3^x * sin(x) * cos(x)) dx

Мы можем применить метод интегрирования по частям снова для интеграла ∫(3^x * sin(x) * cos(x)) dx.

u = 3^x v = sin(x) * cos(x)

Тогда:

u' = (3^x)' = ln(3) * 3^x ∫ v dx = ∫ sin(x) * cos(x) dx = 1/2 * sin^2(x)

Применяем правило интегрирования по частям:

∫(u * v) dx = u * ∫ v dx - ∫(u' * ∫ v dx) dx ∫(3^x * sin(x) * cos(x)) dx = 3^x * (1/2 * sin^2(x)) - ∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin^2(x))) dx

Теперь у нас есть два интеграла, которые нужно рассмотреть отдельно:

Интеграл 3: ∫(3^x * (1/2 * sin^2(x))) dx Интеграл 4: ∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin^2(x))) dx

Интеграл 3 можно решить путем применения формулы половинного угла для синуса:

∫(3^x * (1/2 * sin^2(x))) dx = ∫(3^x * (1/2 * (1 - cos(2x))/2)) dx = 1/4 * ∫(3^x * (1 - cos(2x))) dx = 1/4 * (∫(3^x dx) - ∫(3^x * cos(2x)) dx)

∫(3^x dx) может быть решен просто:

∫(3^x dx) = 1/ln(3) * 3^x

Теперь рассмотрим интеграл ∫(3^x * cos(2x)) dx. Для этого интеграла нам понадобится применить метод интегрирования по частям.

u = 3^x v = cos(2x)

Тогда:

u' = (3^x)' = ln(3) * 3^x ∫ v dx = ∫ cos(2x) dx = 1/2 * sin(2x)

Применяем правило интегрирования по частям:

∫(u * v) dx = u * ∫ v dx - ∫(u' * ∫ v dx) dx ∫(3^x * cos(2x)) dx = 3^x * (1/2 * sin(2x)) - ∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin(2x))) dx

Теперь у нас есть два интеграла, которые нужно рассмотреть отдельно:

Интеграл 5: ∫(3^x * (1/2 * sin(2x))) dx Интеграл 6: ∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin(2x))) dx

Интеграл 5 можно решить путем применения формулы половинного угла для синуса:

∫(3^x * (1/2 * sin(2x))) dx = ∫(3^x * (1/2 * (1 - cos(2x))/2)) dx = 1/4 * ∫(3^x * (1 - cos(2x))) dx = 1/4 * (∫(3^x dx) - ∫(3^x * cos(2x)) dx)

Мы уже рассмотрели интеграл ∫(3^x dx), поэтому рассмотрим только интеграл ∫(3^x * cos(2x)) dx:

∫(3^x * cos(2x)) dx = 3^x * (1/2 * sin(2x)) - ∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin(2x))) dx

Теперь мы можем собрать все интегралы вместе:

∫(3^x * (-cos(2x))) dx = 3^x * (-1/2 * sin(2x)) - ∫(ln(3) * 3^x * (-1/2 * sin(2x))) dx ∫(3^x * (-cos(2x))) dx = 3^x * (-1/2 * sin(2x)) - (1/4 * (∫(3^x dx) - ∫(3^x * cos(2x)) dx))

Теперь подставим интегралы, которые мы уже рассмотрели:

∫(3^x * (-cos(2x))) dx = 3^x * (-1/2 * sin(2x)) - (1/4 * (1/ln(3) * 3^x - (3^x * (1/2 * sin(2x)) - ∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin(2x))) dx)))

Заметим, что второй интеграл ∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin(2x))) dx повторяется в исходном интеграле. Поэтому мы можем выразить его в терминах исходного интеграла:

∫(ln(3) * 3^x * (1/2 * sin(2x))) dx = ln(3) * 3^x * (1/2 * sin(2x)) - ∫(3^x * (-cos(2x))) dx

Теперь мы можем заменить этот