Question

5y''-y'=0 y(0)=1; y'(0)=-2

Answer 1

Применим метод Эйлера
Пусть $y=e^{kx}$, получаем

$5k^2-k=0$ - характеристическое уравнение.

$k(5k-1)=0\\ k_1=0\\ k_2= \frac{1}{5}$

Общее решение будет иметь вид
$y=y_1+y_2=C_1e^{0\cdot x}+C_2e^{\frac{1}{5} x}=C_1+C_2e^{\frac{1}{5} x}$

$y'=(C_1+C_2e^{\frac{1}{5} x})'= \dfrac{C_2e^\big{\frac{x}{5} }}{5}$

Воспользуемся начальными условиями.
$\displaystyle \left \{ {{C_1+C_2e^{0}=1} \atop {\dfrac{C_2e^{0 }}{5} =-2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_1+C_2=1} \atop {C_2=-10}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_1=11} \atop {C_2=-10}} \right.$

$y=11-10e^\big{ \frac{x}{5} }$

Answer 2

Дифференциальное уравнение 5y''-y'=0 является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения можно найти с помощью характеристического уравнения, которое имеет вид ar^2+br+c=0, где a, b и c - коэффициенты исходного уравнения. В данном случае, характеристическое уравнение будет 5r^2-r=0. Решая его, получаем два корня: r=0 и r=1/5. Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид y=C1*e^(0*x)+C2*e^(1/5*x), где C1 и C2 - произвольные константы. Чтобы найти их, нужно использовать начальные условия y(0)=1 и y'(0)=-2. Подставляя x=0 в общее решение, получаем y(0)=C1+C2=1. Дифференцируя общее решение по x, получаем y'=C2*e^(1/5*x)/5. Подставляя x=0 и y'(0)=-2, получаем C2/5=-2, откуда C2=-10. Тогда C1=1+C2=1-10=-9. Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с начальными условиями имеет вид y=-9-10*e^(1/5*x). Вы можете проверить это решение с помощью онлайн-калькуляторов, например, [здесь](https://mathdf.com/dif/ru/) или [здесь](https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/equal-one/differencialnoe-uravnenie/). Надеюсь, это было полезно.