Question

Помогите, пожалуйста Решите неравенство 4^x-6*2^x-1>-4

Answer 1

4^x = 2^(x^2)
t = 2^x
t^2 - 6t + 3 > 0
D = 36 - 12 = 24
t1 = 3 + корень(6); t2 = 3 - корень(6)
x (-беск; log2(3-корень(6)))U(log2(3+корень(6));+беск)

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте преобразуем его поэтапно.

Начнем с рассмотрения члена `4^x`. Заметим, что `4` можно представить как `2^2`, поэтому мы можем переписать `4^x` как `(2^2)^x`, что равно `2^(2x)`.

Теперь наше неравенство принимает вид `2^(2x) - 6*2^x - 1 > -4`.

Далее, рассмотрим член `6*2^x`. Заметим, что `6` можно представить как `2*3`, поэтому мы можем переписать `6*2^x` как `2*3*2^x`, что равно `3*2^(x+1)`.

Теперь наше неравенство принимает вид `2^(2x) - 3*2^(x+1) - 1 > -4`.

Далее, объединим члены с `2` вместе. Мы можем записать `2^(x+1)` как `2*2^x`. Таким образом, наше неравенство принимает вид `2^(2x) - 3*2*2^x - 1 > -4`.

Теперь мы можем сократить члены с `2`. Получаем `2^(2x) - 6*2^x - 1 > -4`.

Теперь наше неравенство принимает вид `2^(2x) - 6*2^x - 1 > -4`.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить ноль на другой стороне: `2^(2x) - 6*2^x + 4 > 0`.

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить, используя методы квадратных уравнений.

Заметим, что `2^x` можно представить как `y`, тогда наше уравнение примет вид `y^2 - 6y + 4 > 0`.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: `D = b^2 - 4ac`.

В нашем случае, `a = 1`, `b = -6`, `c = 4`.

Подставим значения в формулу: `D = (-6)^2 - 4*1*4 = 36 - 16 = 20`.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня.

Используем формулу для нахождения корней: `y = (-b ± √D) / (2a)`. В нашем случае, `a = 1`, `b = -6`, `D = 20`.

Таким образом, получаем два значения для `y`.

Первый корень: `y1 = (-(-6) + √20) / (2*1) = (6 + √20) / 2`.

Второй корень: `y2 = (-(-6) - √20) / (2*1) = (6 - √20) / 2`.

Теперь, чтобы найти значения `x`, мы подставляем обратно `y = 2^x`.

Первое значение `x`: `2^x = (6 + √20) / 2`. Решим это уравнение, возведя обе части в логарифм по основанию `2`.

`x = log2((6 + √20) / 2)`.

Второе значение `x`: `2^x = (6 - √20) / 2`. Решим это уравнение, возведя обе части в логарифм по основанию `2`.

`x = log2((6 - √20) / 2)`.

Таким образом, мы получили два значения `x` для которых неравенство выполняется.