Question

вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2;y=4

Answer 1

1 находим точки пересечения кривых

$x^2=4\\ x_{1,2}=\pm 2$

Плошадь искомой фигуры - разность площадей примоугольника ограниченного у=4, осью х и перпендикулярями их точки пересечения (х1=-2, х2=2) и ограниченного кривой у=х^2, осью х и перпендикулярами в точках х1=-2, х2=2

Площадь прямоугольника. S=a*b, длина а=2+2=4 (по оси х), b=4 (по оси у)

S=4*4=16

2.площаль фигуры ограниченной у=х^2

$\int\limits_{-2}^2 {x^2} \, dx =\frac{1}{3}x^3|_{-2}^2=\frac{1}{3}2^3-\frac{1}{3}(-2)^3=\\ \frac{8}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$

3. находим разность $S=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 4, мы должны найти точки пересечения этих двух кривых.

Сначала найдем точки пересечения, приравняв уравнения:

x^2 = 4

Решим это уравнение:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 2 и x = -2.

Теперь, чтобы найти точки пересечения на оси y, подставим найденные значения x в уравнение y = x^2:

При x = 2: y = 2^2 = 4

При x = -2: y = (-2)^2 = 4

Таким образом, точки пересечения на оси y равны (2, 4) и (-2, 4).

Построим график этих двух кривых:

Из графика видно, что фигура, ограниченная этими двумя кривыми, представляет собой область между этими двумя кривыми и осью x, ограниченную отрезками [-2, 2] по оси x и отрезком [0, 4] по оси y.

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем использовать определенный интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - это границы фигуры по оси x, f(x) и g(x) - это функции, ограничивающие фигуру.

В нашем случае, a = -2, b = 2, f(x) = 4 и g(x) = x^2.

Тогда площадь фигуры будет:

S = ∫[-2, 2] (4 - x^2) dx.

Вычислим этот определенный интеграл:

S = [4x - (x^3)/3]∣[-2, 2]

S = [4(2) - (2^3)/3] - [4(-2) - ((-2)^3)/3]

S = [8 - 8/3] - [-8 + 8/3]

S = 24/3 - 24/3

S = 0.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 4, равна 0.