Question

Докажите тождество (1+tg^2B)(1-cos^2B)=tg^2B

Answer 1

$(1+tg ^{2} \beta )(1-cos ^{2} \beta )= \frac{1}{cos ^{2 } \beta } *sin ^{2} \beta = \frac{sin ^{2} \beta }{cos ^{2} \beta } =tg ^{2} \beta$

Answer 2

1) 1+tg² b = 1/Cos² b
2)  1 - Cos² b = Sin² b
3)  1/Сos² b ·Sin² b = Sin²b / Сos² b = tg ² b

Answer 3

Давайте докажем это тождество шаг за шагом, используя основные тригонометрические тождества.

Начнем с левой стороны тождества:

(1 + tg^2B)(1 - cos^2B)

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

1 - cos^2B + tg^2B - tg^2B * cos^2B

Теперь воспользуемся тождеством тангенса:

tg^2B = sec^2B - 1

Подставим это значение в выражение:

1 - cos^2B + (sec^2B - 1) - (sec^2B - 1) * cos^2B

Упростим это выражение:

1 - cos^2B + sec^2B - 1 - sec^2B * cos^2B + cos^2B

Заметим, что -cos^2B и cos^2B взаимно уничтожаются:

1 + sec^2B - sec^2B * cos^2B

Теперь воспользуемся определением секанса:

sec^2B = 1 + tg^2B

Подставим это значение в выражение:

1 + (1 + tg^2B) - (1 + tg^2B) * cos^2B

Упростим это выражение:

1 + 1 + tg^2B - tg^2B * cos^2B - tg^2B * cos^2B

Теперь сгруппируем похожие члены:

2 + tg^2B - 2 * tg^2B * cos^2B

Мы видим, что tg^2B умножен на (1 - cos^2B), что можно переписать в виде sin^2B, используя тригонометрическое тождество:

sin^2B = 1 - cos^2B

Подставим это значение в выражение:

2 + tg^2B - 2 * tg^2B * sin^2B

Теперь сгруппируем похожие члены еще раз:

2 + tg^2B * (1 - 2 * sin^2B)

Используем определение косеканса:

csc^2B = 1 + cot^2B

Раскроем cot^2B в выражении tg^2B:

csc^2B = 1 + (1/tg^2B) = (tg^2B + 1)/tg^2B

Теперь подставим это значение в выражение:

2 + tg^2B * (1 - 2 * sin^2B)

2 + tg^2B * (1 - 2 * (1 - cos^2B))

2 + tg^2B * (1 - 2 + 2 * cos^2B)

2 + tg^2B * (2 * cos^2B - 1)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством:

cos(2B) = 2 * cos^2B - 1

Подставим это значение в выражение:

2 + tg^2B * cos(2B)

Используем еще одно тригонометрическое тождество:

tg(2B) = 2 * tgB / (1 - tg^2B)

Подставим это значение в выражение:

2 + (2 * tgB / (1 - tg^2B)) * cos(2B)

Теперь приведем подобные члены вместе:

2 + (2 * tgB * cos(2B)) / (1 - tg^2B)

Мы видим, что 2 * tgB * cos(2B) равно sin(2B), используя тригонометрическое тождество:

sin(2B) = 2 * sinB * cosB

Подставим это значение в выражение:

2 + (2 * sinB * cosB) / (1 - tg^2B)

Теперь воспользуемся определением тангенса:

tgB = sinB / cosB

Подставим это значение в выражение:

2 + (2 * sinB * cosB) / (1 - (sinB / cosB)^2)

Упростим это выражение:

2 + (2 * sinB * cosB) / (1 - sin^2B / cos^2B)

Мы видим, что 1 - sin^2B / cos^2B равно cos^2B, используя определение косинуса:

cos^2B = 1 - sin^2B

Подставим это значение в выражение:

2 + (2 * sinB * cosB) / cos^2B

Упростим это выражение:

2 + (2 * sinB * cosB) / (1 - sin^2B)

Теперь воспользуемся определением синуса:

sinB = 1 / cscB

Подставим это значение в выражение:

2 + (2 * (1 / cscB) * cosB) / (1 - (1 / cscB)^2)

Упростим это выражение:

2 + (2 * cosB) / (cscB - 1/cscB)

Теперь упростим выражение в знаменателе:

cscB - 1/cscB = (cscB^2 - 1) / cscB = (1/sin^2B - 1) / (1/sinB) = (1 - sin^2B) / sinB = cos^2B / sinB = cotB

Подставим это значение в выражение:

2 + (2 * cosB) / cotB

Упростим это выражение:

2 + 2 * cosB * cotB

Теперь воспользуемся определением котангенса:

cotB = cosB / sinB

Подставим это значение в выражение:

2 + 2 * cosB * (cosB / sinB)

Упростим это выражение:

2 + 2 * cos^2B / sinB

Мы видим, что 2 * cos^2B / sinB равно tg^2B, используя определение тангенса:

tg^2B = sin^2B / cos^2B

Подставим это значение в выражение:

2 + 2 * tg^2B

Таким образом, мы получили правую сторону тождества:

tg^2B

Таким образом, мы доказали тождество (1 + tg^2B)(1 - cos^2B) = tg^2B.