Question

Найдите точку минимума функции y=1/3x^3+x^2-8x-3

Answer 1

y=1/3x^3+x^2-8x-3
y'=x²+2x-8=0
Д=4+32=36=6²
х1=(-2+ 6)/2=2
х2=(-2-6)/2=-4

х1 и х2 это экстремумы 
          -4         2
---------|--------|------
+++++---------+++++

как видно из рисунка 
х=-4 это максимум
х=2 это минимум

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 8x - 3 \) мы можем воспользоваться процедурой нахождения экстремумов функции. Для этого нужно найти производную первого порядка функции \( y \) и приравнять ее к нулю, чтобы найти точки, в которых функция имеет экстремумы.

Нахождение производной первого порядка

Для начала найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \).

\[ y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 8x - 3 \]

\[ y' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 8x - 3) \]

\[ y' = x^2 + 2x - 8 \]

Нахождение точек экстремума

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки, в которых функция может иметь экстремумы.

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Для нахождения корней квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \), воспользуемся квадратным корнем:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4*1*(-8)}}{2*1} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

\[ x_1 = 2 \]

\[ x_2 = -4 \]

Проверка знака второй производной

Теперь нам нужно определить, являются ли найденные точки \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -4 \) точками минимума или максимума. Для этого проверим знак второй производной в окрестности каждой из точек.

\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 + 2x - 8) \]

\[ y'' = \frac{d}{dx}(2x + 2) \]

\[ y'' = 2 \]

Таким образом, вторая производная положительна, что означает, что точка \( x_1 = 2 \) является точкой минимума, а точка \( x_2 = -4 \) является точкой максимума.

Ответ

Таким образом, точка минимума функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 8x - 3 \) находится в точке \( (2, f(2)) \), где \( f(2) \) - значение функции в точке \( x = 2 \).