Question

1) Уравнение x^3+x^2+ax+b=0 имеет корни x1=1, x2=-2 . Найдите a, b и третий корень этого уравнения

Answer 1

Т.к. х1 = 1 ---это корень, то верно равенство:
1^3 + 1^2 + a*1 + b = 0
a + b = -2
т.к. х2 = -2 ---это корень, то верно равенство:
(-2)^3 + (-2)^2 + a*(-2) + b = 0
-2a + b = 4
осталось решить систему двух уравнений относительно a и b...
b = -2-a
-2a -2 -a = 4 => a = -2
b = 0
уравнение примет вид: x^3 + x^2 -2x = 0
x(x^2 + x -2) = 0
третий корень х3 = 0

Answer 2

Для решения этой задачи нам дано уравнение третьей степени:

x^3 + x^2 + ax + b = 0

У нас также есть два известных корня: x1 = 1 и x2 = -2. Мы хотим найти третий корень, а также значения a и b.

Используемость корней для нахождения a и b

Если у нас есть два корня уравнения, мы можем использовать эти корни, чтобы определить коэффициенты уравнения.

Мы знаем, что когда мы имеем корень x = k, тогда (x - k) является фактором уравнения. Например, если у нас есть корень x1 = 1, то (x - 1) является фактором.

Используя эту информацию, мы можем записать уравнение следующим образом:

(x - x1)(x - x2)(x - x3) = 0

Подставляя известные значения x1 = 1 и x2 = -2, мы получаем:

(x - 1)(x + 2)(x - x3) = 0

Раскрытие скобок

Давайте раскроем скобки и упростим уравнение:

(x - 1)(x + 2)(x - x3) = 0

(x^2 - x + 2x - 2)(x - x3) = 0

(x^2 + x - 2)(x - x3) = 0

x^3 - x^2 + 2x - x^2 - x + 2x - 2x3 = 0

x^3 - 2x^2 + 4x - 2x3 = 0

Сравнение коэффициентов

Теперь мы сравним коэффициенты исходного уравнения с коэффициентами, полученными после раскрытия скобок:

x^3 + x^2 + ax + b = 0

x^3 - 2x^2 + 4x - 2x3 = 0

Мы видим, что коэффициенты перед x^2 и x должны быть равными. Это дает нам два уравнения:

-2 = a 4 = b - 2x3

Нахождение третьего корня

Теперь мы можем использовать известные корни x1 = 1 и x2 = -2, чтобы найти третий корень.

Мы знаем, что сумма корней уравнения равна -коэффициенту перед x^2, деленному на коэффициент перед x^3. В нашем случае это будет:

x1 + x2 + x3 = -1 / 1 = -1

Подставляя известные значения x1 = 1 и x2 = -2, мы получаем:

1 + (-2) + x3 = -1

-1 + x3 = -1

x3 = 0

Таким образом, третий корень уравнения равен x3 = 0.

Окончательный ответ

Итак, мы найдем значения a, b и третий корень:

a = -2 b = 4 - 2x3 = 4 - 2(0) = 4 третий корень = x3 = 0

Таким образом, значения a, b и третий корень уравнения x^3 + x^2 + ax + b = 0 равны a = -2, b = 4 и третий корень x3 = 0.